一个追逐问题的数学模型和matlab仿真

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1、第26卷第1期大学数学Vo1．26，№．12010年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb．2010一个追逐问题的数学模型和matlab仿真蒋剑军(铜陵学院数学与计算机科学系，安徽铜陵244000)[摘要]就两人绕正三角形的追逐问题建立起了两个数学模型：一个充分应用运动的周期性首先给出了两人共边的充要条件，然后直接给出在～个周期内两人共边的次数及起止时刻；另一个则利用初等数论的方法给出了两人共边的另一个充要条件．利用matlab长于计算和强大的绘图功能，分别给出了求解两个模型的matlab程序，通过动画仿真演示两个绕正三

2、角形的追逐模型，并给出了二者同边的时间起止点和同边的次数．[关键词]追逐问题；数学模型；matlab程序；动画演示[中圈分类号]029；TP399[文献标识码]B[文章编号]1672一l454(201o)01—0156—071引言及问题当前数学建模竞赛在世界各国开展得如火如，我国也不例外．数学建模竞赛涉及到自然科学、工程技术、经济、管理等领域的方方面面，数学模型能为这些领域中的很多问题提供有力的数学上的解答，这正是数学建模竞赛的生命力之所在．在我国很多高校的建模竞赛培训中常见这样一个问题：甲乙两人绕着正三角形ABC跑道(如图1)

3、，甲自顶点B出发，乙自顶点C出发，以同向(反时针方向)前进，设三角形每边长100米，甲每秒跑8米，乙每秒跑6米，问在什么时候开始二人第一次在三角形的同一边上跑?什么时候第二次?第三次?并推出什么时候第20次?这个问题的数学模型是简单的，本文为该问题建立了两个数学模型：一个利用运动的周期性直接给出在一个周期内两人共边的次数及起止时目甲)a乙)刻；另一个则利用初等数论的方法给出了两人共边的充要条件，并利用图lmatlab长于计算和强大的绘图功能，分别给出了求解两个模型的matlab程序，通过动画仿真演示两人绕正三角形的追逐模型，并给

4、出二者同边的起止点和同边的次数．2数学模型易知，甲乙二人绕正三角形追逐运动是周期运动，因为甲乙的相对速度为8—6—2(m／s)，正三角形周长为300m，所以不难得到该周期运动的最小正周期为T一300／2—150(s)．所以，只要把第一个周期内的共边情况讨论清楚了，其他情况也就清楚了．下面讨论第一个周期的共边情况．模型一稍加分析即知，甲乙共边当且仅当下属情形之一发生：一、甲乙不相逢，甲进入该边时乙还没有走出该边，此时共边的起止时刻分别就是甲进入该边的时刻和乙走出该边的时刻；二、甲乙不相逢，乙进入该边时甲还没有走出该边，此时共边的起

5、止时刻分别就是乙进入该边的时[收稿日期]2007—03—26[基金项目]安徽高校省级自然科学研究重点项目(KJ2。O7Al27ZC)第1期蒋剑军：一个追逐问题的数学模型和matlab仿真157刻和甲走出该边的时刻；三、甲乙相逢，下述定理表明此时甲乙必相逢于顶点C，所以共边的起止时刻分别就是甲进入BC边的时刻和甲走出CA边的时刻．定理条件如问题所述，则甲乙在追逐过程中相逢且只能相逢于顶点C．证容易知道，甲乙追逐50s时即相逢于顶点C，下面证明甲乙只能相逢于顶点C．前面我们已经说明，在所给条件下甲乙追逐运动是周期运动，最小正周期为T

6、一150s，所以我们只需讨论第一个周期内的情形就够了．在一个周期内，甲路程为S一8×150—1200m，刚好从顶A点B出发沿正三角形ABC跑了4圈回到B，乙路程为Sz一6×150—900m，刚好从顶点C出发沿正三角形ABC跑了3圈回到C．假设甲乙相逢于正三角形ABC上反时针方向距离顶点C有m处(见图2)，则0≤x<300．假设甲跑了k圈到达相逢点，乙跑了z圈到达相逢点，则是，z为整数，且分别取值为是一0，1，2，3，4；z一0，1，2，3．此时甲所走路程为300k+1()O+，乙B(q)乙)所走路程为300／+．由路程速度的关系

7、，我们可得如下方程：图2300／+3一—3—0—0——k——+——l——O—O——+——x一4‘x寸k，￡用萃，蔺华得5C一0，运表明甲乙只相建于上贝息L．根据模型一的描述我们得到：在￡一lOOs这一时刻甲进入CA边，此时乙尚未出该边，乙出该边的时刻是一百100s一、，．所以甲乙第一次共CA边，起止时刻为『lOO，ioo]；1nnl，、，、二、在t一·2s这一时刻，甲进入AB边，此时乙尚未出该边，乙出该边的时刻是t一·2s．所以甲乙第二次共AB边，起止时刻为『·2，·2]；三、在￡一100·3s这一时刻，甲进入BC，此时乙尚未出

8、该边，二人共BCNN￡===50s这一时刻，甲乙相逢于C点．也就是说，甲乙既同时出BC边又同时入CA边，紧接又共CA边，这次不共边的时刻是甲出cA边的时刻，￡一·5s．所以甲乙第三次共边的是先共Bc边紧接又共cA边，由情形(3)知起止时刻为·s，·s]；四、在f