蹦极数学模型求解

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1、蹦极的数学建模及其龙格-库塔法求解方法信息学院计算机系05级硕士研究生赵也非51051201062商学院情报学05级硕士研究生周自力51050500186统计系05级硕士研究生孙晶51050625004摘要本文通过参照题中给出的数据，对蹦极者在蹦极过程受到重力，拉力，空气阻力等受力分析，依据牛顿第二定律，将这种现实生活中连续状态的非线性系统进行建模，得到一个完整的蹦极数学模型。该模型表现为蹦极者位置x对下落时间t的二阶常微分方程。然后利用Matlab编程，采用龙格-库塔法方法，完成了赛题中所有问题。全文的分析思路如下：首先，求解空气阻力与速度的关系。题中给出了一组空气阻力和速度的实测数据，

2、通过程序BengJiNiHe.m，进行多项式曲线拟合，发现空气阻力和速度符合二次多项式，求出了二次多项式的系数，验证了该二次多项式具有良好的拟合效果。然后，对蹦极者受力分析，发现这是典型的具有连续状态的非线性系统。建立二维空间坐标模型，并令蹦极者位置为X.根据牛顿第二定律，列出蹦极模型的数学表达式，得到蹦极者下落位置x对下落时间t的二阶常微分方程。为简化计算，决定采用计算机对蹦极数学模型进行数值计算和系统仿真。因为MATLAB只能解一阶常微分方程，所以先手工把上面的二阶常微分方程转化成一阶常微分方程，再采用计算机求解。通过对Matlab中不同的龙格-库塔法方法进行分析后，发现ode23方法

3、最适合求解具有连续状态的非线性系统，且精度符合要求。因此，程序（BengJi.m,BengJi_Sub.m）中使用ode23方法，对蹦极数学模型进行数值计算和系统仿真。并得出了系统要求的数值解和系统仿真图表。通过极值和折半法，求出在蹦极绳弹性系数k=5时，蹦极者有最大刺激，即在安全的情况下最接近湖面。此情况下，脚踝受到的最大拉力为670磅，蹦极者的最大速度为105.1469英尺/秒，蹦极者反弹回来离起跳点的最短距离为69.7566英尺，并给出了系统仿真图。将蹦极系统的理论数值解和仿真数值解进行比对验证，误差分析，发现系统仿真结果符合实际，本数学模型可以客观正确地反映蹦极过程。最后，论述了此

4、模型的优缺点，讨论了模型的改进，列出了相关参考文献和术语。关键字数学建模MATLAB非线性系统常微分方程龙格-库塔法方法多项式曲线拟合数值计算系统仿真蹦极1一.问题重述蹦极者脚踝上扣有L=160英尺的蹦极绳（蹦极绳的弹性系数k未知），空气阻力与速度有关，给出下列空气阻力和速度的实测数据。速度:英尺/秒1020304050607080901001102阻力:磅英尺/秒72451881351922593364235206272已知当地的重力加速度g=32英尺/秒，脚踝所受的拉力不能超过800磅，若起跳点离湖面300英尺，不让蹦极者碰到水面。蹦极者身高H=6英尺,质量m=160磅,且蹦极绳的弹性

5、系数是常数。求：1蹦极绳的弹性系数k为多少时,在保证蹦极者安全的前提下（脚踝受拉力不超过800磅），能让蹦极者得到最大刺激（最接近水面，而又不进入水中）。记算出来的K为K1.2K1下蹦极者的最大速度(英尺/秒)3K1下蹦极者脚受到最大的拉力(磅)4K1下蹦极者反弹回来时离起跳点可能达到的最短距离(英尺)二.模型假设1.通过给出的一组空气阻力和蹦极者下落速度的实测数据，根据拟合方法，得出空气阻力和蹦极者下落速度的函数关系。2.蹦极者在下落过程中，受到重力，空气阻力，蹦极绳拉力的作用，不考虑其他作用力的影响。3.蹦极绳的弹性系数k是一固定常数，且蹦极绳不会断裂。4．蹦极者起跳时候无初速度5.蹦

6、极者在起跳到头顶碰到湖面之前为一个质点，不考虑高度和翻转等运动。6.蹦极者得到最大刺激指的是在最能接近水面时三.符号定义m人的质量g重力加速度k绳的弹性系数x蹦极者的位置.x位置x对时间t的一阶微分，即蹦极者的速度..x位置x对时间t的二阶微分，即蹦极者的加速度..F()空气阻力，与速度有关xxresisb(x)绳子的拉力，与蹦极者x所在位置有关四.模型建立21.建立坐标体系对蹦极场所建立坐标系，以起跳点下160英尺为坐标原点，坐标原点以下为正，坐标原点以上为负，x为蹦极者在此坐标中的位置。考虑到绳是系在脚踝上，人身高6英尺，x的有效范围应该在[-160英尺，134英尺]以内，才能保证蹦极

7、者在起跳点起跳，不碰到湖面。-1600140图1X坐标系下落过程，在绳子绷紧之前，人向上受到空气阻力，向下受到重力的作用。在绳子绷紧之后，人向上受到空气阻力和绳子的拉力，向下受到重力的作用人的脚踝扣有弹性系数为k的蹦极绳，依据胡克定律，蹦极绳的拉力b(x)和蹦极者位置x的函数关系为：⎧−kx,x>0b(x)=⎨⎩,0x<=0.F()为空气阻力，与速度有关。将在后面的章节依据给出的11组数据xresis找出它们的关系。对人