名师讲座 陈忠怀 数学数思想方法说(2)

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1、数学月刊二月号陈忠怀以退为进走是策略高考数学思想方法之（2）在本文中，将多次牵涉到“难题”这个概念.但是。从逻辑上讲，“难题”并不能构成一个集合.所以，在本文中，我们特别将“难题”定义为：对多数考生而言，难于用简单、直接的方法迅速破解的题.这样，一些“小题不小”的题，我们也称之为“难题”.数学解题中遇到难题怎么办？基本对策是：以退为进.“以退为进.”的实质是转移或转换.考场上遇到难题，如同战场上遇到强敌.应该“打得赢就打，打不赢就走.”（毛泽东语）打是为了消灭敌人，而走的目的，既是为了保全自己，又是为了更有效的消灭敌人.这种思想完全应该而且能够移植到考场上.在具体操作上，有如下几种“走”法

2、.（1）一般不易，走特殊路我在上一篇文章中讲到：一个问题在普遍意义上难以认识辨别与掌握，在特殊情况下往往清楚明白.既如此，我们解题时，何不以退为进，由一般退到特殊呢？用这种“特殊化思想”去解那些“小题不小”的题是特别优质而且高效的，这种退法是一切退法中的首选.【例1】函数的反函数是（）A.BC.D.【解析】∵（0，-1）在原函数的图象上，∴（-1，0）在其反函数的图象上.但是（-1，0）不适合A、B、D，（x=-1时，它们没有意义）故选C.【例2】如方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（）A.B.C.D.【解析】取，则双曲线为，其焦点.而此时A、B、D轨迹都不存在，故选C.【

3、例3】（06.辽宁卷10题）直线y=2k与曲线（k∈R且k≠0）的公共点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】不妨取k=1，有：，即.如图，直线y=2与双椭圆有4个不同的交点.故选D.【例4】（06全国一卷22题）设数列的前项和，（1）求首项和通项；（2）设，证明：【分析】高中数学只讲过两种特殊数列——等差数列和等比数列.本题牵涉的数列显然既非等差，又非等比.但高考命题必须源于课本，高于课本.所以我们有理由相信，这道题一定与特殊数列有关.所以我们的思考方向，就是考察它是一种什么样的特殊数列的“变种.”【解析】（1），由得：（由（1）式看到，如果没有，这个数列已经是等比数列；现在多了这

4、个，我们的思考方向就是构造新的数列，使之成为等比数列.而构造的基本方法则是待定系数法）.令，化简得：比较（1）与（2）知.于是，∴的等比数列.，故所求数列的通项为：，其中首项也适合.（2）将代入条件式得：【评注】（2）问的证明中使用了拆项法，这也是特殊数列求和方法的一种推广.（2）纵深不易，回归源头这里先给大家讲一个考场故事.1977年我国首次恢复高考.数学考题一共才有5道，其中一道是：求tan22.5゜之值.在30年后的今天来看，这道题是再简单不过了，可是那时多数考生甚至没有上过一天高中的课，这道题比较正规的解法是利用半角的正切公式，而这个公式在初中课本上绝对找不到.尽管如此，阅卷的老师

5、还是发现了奇迹，这就是流传已经十分广泛的下述解法，只是许多人都不清楚这个解法原来来自1977年的一名考生.【解析】如下图，△ABC中∠ACB=90゜，且AC=BC，设AC=BC=1，则AB=，∠BAC=45゜，延长CA到D，使AD=AB，连BD，则∠BDC=22.5゜.于是tan22.5゜=当时，这种解法的确叫人耳目一新，它充分说明一个道理：有时候最原始的方法，恰恰是最好的方法.以下再看数例：【例5】已知圆和直线y=mx交于P、Q两点则的值为（）【解析】容易求出点A、B的坐标分别是：A（1，0）B（5，0）.由平几知识：1×5=5.故选C.【反思】本题若正而八经地用解析法做，工作量会至少增

6、加几倍？【例6】AB是抛物线的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为2，则弦AB长度的最大值是【解析】抛物线的焦点为，准线是连结FA，FB，作AA′⊥于A′，.作BB′⊥于B′，MM′⊥于M′那么.【评注】本题如果不是回归定义，并借助“原始”三角形边角关系，其解法又何其难也.【例7】双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于M，N；A，B分别为，的内心，当MN倾斜角的正弦值为，且离心率e=2时，求双曲线的方程.【分析】本题条件虽多，可由于其中有许多人不很熟悉的内心，所以感到无从下手.如果用解析法，最容易想到的是利用三角形内角平分线的性质，可是由于牵涉到的参变量太多而难以找到

7、突破口.在这种情况下分析题中的数据是有好处的.为什么一个数据是而另一个则是？这两者的乘积为整数4，比较合理的想法是=4.因而想到退，退到“原始”的平面几何中去寻找突破口.【解析】如下图，由于双曲线的离心率e=2，故c=2a.两焦点分别为F1（-2a，0），F2（2a，0）.设圆A分别切各边于D，E，G，并设：，又设，则于是有：我们发现，计算的结果与无关.这说明点G即是双曲线的右顶点.同理，的内切圆亦与x轴切于双曲线的右顶