陈兆华--数学思想方法

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1、52012年江苏省高中数学夏令营讲座数学思想方法苏州市教育科学研究院陈兆华一、特殊与一般例1已知集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝，求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1．例21985个点分布在一个圆周上，每个点标上＋1或－1．一个点称为“好点”，如果从这点开始，依任一方向绕圆周前进到任何一个点时，所经过的各数之和都是正的．证明：如果标有－1的点少于662个时，圆周上至少有一个“好点”．例3设f(n)是定义在所有正整数上且取正整数值的函数，对所有正整数m，n，有

2、f[f(m)+f(n)]=m+n，求f(n)．二、数形结合例4函数的最大值是__________．例5求出所有实数t，使得存在正实数x，y，z满足三、推理与构造例6设，证明：，其中表示的整数部分．例7已知n（n≥2）为确定的自然数，k1，k2，…，kn是正整数，且k13+k23+…+kn3≤7n，求k1+k2+…+kn的最大值．（2000波兰）552012年江苏省高中数学夏令营讲座例1设实数a，b，x，y满足方程组求的值．例2设有两个有理数的n元集合（元素允许重复），{a1，…，an}≠{b1，…，bn}．假设集合{ai+aj

3、1≤i<

4、j≤n}={bi+bj

5、1≤i

6、合S，使得每一个平衡序列或者等于S中的一个序列，或者至少与S中的一个序列相邻．552012年江苏省高中数学夏令营讲座四、数学归纳法1．第一数学归纳法例1设正数数列｛an｝满足an2≤an－an＋1，，证明．2．起点与跨度例2设n为不少于3的自然数，证明可将一个正三角形分成n个等腰三角形．3．跷跷板归纳法例3用Fn表示斐波那契数列的第n项，证明：．4．加强命题例4设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，，n≥1，，证明：an＞1．5．转化命题例5已知a1=a2=1，，试证：对一切，an皆为整数．6．第二数学归纳法例6平面内有有限个点构成一个集合，

7、其中每个点的坐标均为整数．可不可以把此集合中的某些点染成红色，而其余的点染成白色，使得与纵横轴平行的每一条直线L上所包含的红、白点的个数至多相差1个？例7对于正整数n，设C(n)为用2的幂之和表示n的方法数，这里2的幂是按非增顺序排列的，而且在和式中使用每个2的幂不能超过3次．例如，8用2的幂的和表示的方法数有5种：8，4+4，4+2+2，4+2+1+1，2+2+2+1+1．证明或否定，对所有的正整数n，有一个多项式P(n)，使得C(n)=[P(n)]，这里的[u]表示不超过u的最大整数．552012年江苏省高中数学夏令营讲座练习：1．

8、有10层台阶，若每次可以上一层或二层，则共有多少种上法？2．证明：对于任何自然数n，不定方程都有正整数解．3．求u＝x2-x+1+的最小值．4．设x，y是正实数，求u＝的最小值．5．已知a，b均为正整数，且a＞b，（0＜θ＜），，．求证：An为整数．6．求证：任一正方形可以剖分成多于5个的任意个数的正方形．7．已知a，b为正实数，且，试证：（）．8．设有2n个球分成了许多堆，我们可以任意选取甲、乙两堆作如下挪动：若甲堆的球数p不少于乙堆的球数q时，就从甲堆中拿出q个球放入乙堆，这称为一次挪动．证明：可以经过有限次挪动，把所有球并成一堆．

9、9．设f(x)是定义域、值域均为R的函数，且对任意实数a，b，均有，求｜f(1992)｜．10．求所有的函数f：N*→N*：使得对任意正整数x，y，圴有．11．对所有正整数n（n≥2），求和式的最大值．552012年江苏省高中数学夏令营讲座1．已知a1＝1，a2＝2，试证：对一切，an≠0．5