中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解(二)

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1、中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解(二)第二十讲 因式分解(二)1.双十字相乘法  分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.  例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),  可以看作是关于x的二次三项式.  对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为 

2、  即  -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).  再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解   所以  原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]    =(x+2y-3)(2x-11y+1).  上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:   它表示的是下面三个关系式:  (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;  (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;  (2y-3)(-11y+1)=-22y

3、2+35y-3.  这就是所谓的双十字相乘法.  用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:  (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);第6页共6页中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解(二)  (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.  例1分解因式:  (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;  (2

4、)x2-y2+5x+3y+4;  (3)xy+y2+x-y-2;  (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.  解(1)   原式=(x-5y+2)(x+2y-1).  (2)   原式=(x+y+1)(x-y+4).  (3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.   原式=(y+1)(x+y-2).  (4)   原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).  说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.  2.求根法  我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a

5、0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如  f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,  当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)  f(1)=12-3×1+2=0;第6页共6页中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解(二)  f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.  若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.  定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项

6、式f(x)有一个因式x-a.  根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.  定理2若既约分数是整系数多项式  的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数.  我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.  例2分解

7、因式:x3-4x2+6x-4.  分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:±1,±2,±4,只有  f(2)=23-4×22+6×2-4=0,  即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.  解法1用分组分解法,使每组都有因式(x-2).  原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)    =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)    =(x-2)(x2-2x+2).  解法2用多项式除法,将原式除以(x-2),   

8、所以原式=(x-2)(x2-2x+2).  说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.  例3分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2.第6页共6页中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解(二)分析因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,±2,所以原式的有理根只可能是±1,±2,±,±,±,±,经检验,只有=-和是原式的根,所以原式有因式x+和x-,又因为:

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