中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解(二)

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1、中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解（二）第二十讲 因式分解(二)1．双十字相乘法　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，　　可以看作是关于x的二次三项式．　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为　

2、　　即　　-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．　　再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解　　　所以　　原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］　　　　=(x+2y-3)(2x-11y+1)．　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：　　　它表示的是下面三个关系式：　　(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；　　(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；　　(2y-3)(-11y+1)=-22y

3、2+35y-3．　　这就是所谓的双十字相乘法．　　用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：　　(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；第6页共6页中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解（二）　　(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．　　例1分解因式：　　(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；　　(2

4、)x2-y2+5x+3y+4；　　(3)xy+y2+x-y-2；　　(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．　　解(1)　　　原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．　　(2)　　　原式=(x+y+1)(x-y+4)．　　(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．　　　原式=(y+1)(x+y-2)．　　(4)　　　原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．　　说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．　　2．求根法　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a

5、0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，　　当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)　　f(1)=12-3×1+2=0；第6页共6页中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解（二）　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．　　若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．　　定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项

6、式f(x)有一个因式x-a．　　根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．　　定理2若既约分数是整系数多项式　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．　　例2分解

7、因式：x3-4x2+6x-4．　　分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有　　f(2)=23-4×22+6×2-4=0，　　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．　　解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．　　原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)　　　　=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)　　　　=(x-2)(x2-2x+2)．　　解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，　　　

8、所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．　　说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．　　例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．第6页共6页中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解（二）分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±2，所以原式的有理根只可能是±1，±2，±，±，±，±，经检验，只有=-和是原式的根，所以原式有因式x＋和x－，又因为：