中学数学竞赛讲座及练习(第5讲)方程

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1、第五讲 方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．　　例1解方程组　　　解将原方程组改写为　　　由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④　　由③得2y+3z=4．⑤　　④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，　　所以y=-1．　　将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以　为原方程组的解．　　说明本题解法中

2、，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．　　解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．　　例2解方程组　　　解法1由①，④消x得　　　由⑥，⑦消元，得　　　解之得　　　将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以　　　解法2由原方程组得　　　所以x=5-2y=5-2

3、(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，　　即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以　为原方程组的解．　　解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤　　　　由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥　　　　由①×2-④得4y-u=4，⑦　　　　⑥+⑦得y=2．以下略．　　说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．　　例3解方程组　　　分析与解注意到各方程中同一未知数

4、系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：　　　　①+②得x+u=3，⑥　　　　②+③得y+v=5，⑦　　　　③+④得z+x=7，⑧　　　　④+⑤得u+y=9．⑨　　又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩　　⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以　为原方程组的解．　　例4解方程组　　　解法1①×2+②得　　　　　由③得　　　　　代入④得　　　　　　　　　　　　　　为原方程组的解．　　　　　　　为原方程组的解．　　说

5、明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．　　例5已知　　　　　　　　　　　分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．　　①-②消去x得　　　①×3+②消去y得　　　①×5+②×3消去z得　　　　　　　　例6已知关于x，y的方程组　分别求出当a为何值时，

6、方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．　　分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．　　解由①得2y=(1+a)-ax，③　　将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④　　(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有　　　　　因而原方程组有唯一一组解．　　(2)当(a-2)(a

7、+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．　　(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．　　例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，　　当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．　　解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组　　　　　　　　将x=3，y=-1代入原方程得　　(a-1)·3+(a+2)·(

8、-1)+5-2a=0．　　所以对任何a值都是原方程的解．　　说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．　　解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．　　由于公共解与a无关，故有　　　　　　　　例8甲、乙两人解方程组　　　原方程的解．　　分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③　　a×5+5×4=