中学数学竞赛讲座及练习(第16讲)+应用

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1、第十六讲应用问题解题技巧  应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题．应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证．这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义．下面举出几个例题，略述一下解应用问题的技能和技巧．　　1．直接设未知元　　在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接

2、设未知元法．　　例1某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．　　分析本例中要求三个量，即参赛人数、未参赛人数，以及初中一年级人数．由已知条件易知，可直接设未参赛人数为x，那么参赛人数便是3x．于是全年级共有(x+3x)人．　　由已知，全年级人数减少6人，即(x+3x)-6，①而未参加人数增加6人时，则参加人数是未参加人数的2倍，从而总人数为　　(x+6)+2(x+6)．②　　由①，②自然可列出方程．　　解设未参加的学生有x人，则根据分析，①，

3、②两式应该相等，所以有方程(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6，　　所以x+6+2x+12=4x-6，　　所以3x+18=4x-6，　　所以x=24(人)．　　所以未参加竞赛的学生有24人，参加竞赛的小学生有3×24=72(人)．　　全年级有学生4×24=96(人)．　　说明本例若按所求量次序设参加人数为x人，则未参加人数为　　　　例2一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做做多少个零件？定期是多少天？　　分析若直接设这个工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做　　　　　另一方面，如果他每天少做5个，则要增加3天工期，因此，　　　显然，将此两式联立，解出x，y即可．　　解设

4、工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做x/y个，依分析有方程组　　　整理得　　　②×2+①得　　　将x=50y代入②得y=27，x=50y=1350，　　　　答工人要做1350个零件，定期为27天．　　例3一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？　　解设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人．由于m≥2，n≤32，依题意有22m+1=n(m-1)．　　所以　　　因为n为自然数，所以23/m-1为整

5、数，因此m-1=1，或m-1=23，　　即m=2或m=24.　　当m=2时，n=45(不合题意，舍去)；当m=24时，n=23(符合题意)．　　所以旅客人数为：n(m-1)=23×(24-1)=529(人)．　　答起初有汽车24辆，有乘客529人．　　注意解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性，并根据情况做具体讨论．　　2．间接设元　　如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．　　例4若进货价降低8％，而售出价不变，那么利润可由目前的p％增加到(p+10)％，求p．　　分析本题若直接设未知元为x，

6、则不易列方程，为此，可间接设元，设进货价为x，则下降后的进货价为0.92x．由于售出价不变，它可用以下方程式表示：x(1+p％)=0.92x[1+(10+p)％]．　　解设原进货价为x，则下降8％后的进货价为0.92x．根据题意售货价不变，故有以下方程x(1+0.01p)=0.92x[1+0.01(p+10)]，　　约去x得1+0.01p=0.92［1+0.01(p+10)］，　　所以1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092，　　所以(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1，　　即0.0008p=0.012，　　所以p=15．　　答原利润为15％．　　例5甲乙两人沿着

7、圆形跑道匀速跑步，它们分别从直径AB两端同时相向起跑．第一次相遇时离A点100米，第二次相遇时离B点60米，求圆形跑道的总长．　　分析与解如图1－76，设圆形跑道总长为2S，又设甲乙的速度分别为V，V＇，再设第一次在C点相遇，则第二次相遇有以下两种情况：　　　(1)甲乙第二次相遇在B点下方D处，此时有方程组　　　化简得　　　由③，④得　　　解此方程得S=0(舍去)，S=240．　　所以2S=480