中学数学竞赛讲座及练习(第44讲)判别

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1、第四十四讲判别式及其应用一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识,它不仅能用于直接判定根的情况,而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用,是初中数学中的一个重要内容,在高中数学中也有许多应用.熟练掌握它的各种用法,可提高解题能力和知识的综合应用能力.   1.判定方程根的情况  例1已知方程x2-2x-m=0没有实数根,其中m是实数.试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根.  解因为方程x2-2x-m=0无实数根,所以△1=(-2)2-4×(-m)=4+4m<0,  即

2、m<-1.  因为△2=(2m)2-4m(m+1)=-4m>0,  所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根.  例2已知常数a为实数,讨论关于x的方程(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0  的实数根的个数情况.  实根.  当a≠2时,原方程为一元二次方程,其判别式△=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1,    说明对于一个二次项系数含参数的方程,要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况,前者为一次方程,后者为二次方程,不能一上来就用判别式.   2.确定方程中系数的值或范

3、围  例3关于x的一元二次方程     有实根,其中a是实数,求a99+x99的值.  解因为方程有实根,所以   即-a2-2a-1≥0.  因为-(a+1)2≥0,所以a+1=0,a=-1.  当a=-1时,原方程为x2-2x+1=0,x=1,所以a99+x99=(-1)99+199=0.  例4若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0  有实根,求a,b的值.  解因为方程有实根,所以它的判别式△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0,  化简后得2a2+4ab+4

4、b2-2a+1≤0,  所以       (a+2b)2+(a-1)2≤0,        说明在本题中,只有一个不等式而要求两个值,通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”,从而可以得到一个方程组,进而求出要求的值.  例5△ABC的一边长为5,另两边长恰是方程2x2-12x+m=0  的两个根,求m的取值范围.  解设△ABC的三边分别为a,b,c,且a=5,由△=122-4·2·m=144-8m≥0    并且不等式25=a2>(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m, 

5、      3.求某些方程或方程组的解  例6求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解.  解先把y看作是常数,把原方程看成是关于x的一元二次方程,即5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0.  因为x是实数,所以判别式△=(8y-2)2-4·5·(5y2+2y+2)≥0,  化简后整理得y2+2y+1≤0,  即(y+1)2≤0,从而y=-1.将y=-1代入原方程,得5x2-10x+5=0,  故x=1.所以,原方程的实数解为x=1,y=-1.  说明(1)本题也可以把x看作常数

6、,把方程写成关于y的一元二次方程,再用判别式来求解.  (2)本题还可以用配方的方法,把原方程变形为4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0,  从而x=1,y=-1.  例7解方程组      解引入待定系数k,由k·①+②得   或写成      △=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0.         即        4.证明不等式,求最大值和最小值  用判别式证明不等式,常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段,放到某个一元二次方程的系数中去.  是多少?   (x-3)2

7、+(kx-3)2=6,  即       (k2+1)x2-6(k+1)x+12=0,  将它看成关于x的一元二次方程.因x是实数,所以△=36(k+1)2-48(k2+1)≥0,  即    k2-6k+1≤0.①                解由于     所以yx2+(y-2)x+y=0,  上式可以看成关于x的一元二次方程.因x为实数,所以△=(y-2)2-4y2≥0,  即     3y2+4y-4≤0,(3y-2)(y+2)≤0.    当y=-2时,代入yx2+(y-2)x+y=0中,得x

8、=-1,即x=-1时,y=    例10实数a,b,c满足a+b+c=2,且对任何实数t,都有不等式-t2+2t≤ab+bc+ca≤9t2-18t+10,    证因为对任何实数t,有-t2+2t=-(t-1)2+1≤1,9t2-18t+10=9(t-1)2+1≥1,  当t=1时,便有1≤ab+bc+ca≤1,  所以       ab+bc+ca=1.  由于a+b=2-c,于是ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(

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