中学数学竞赛讲座及练习（第2讲）+绝对

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1、第二讲绝对值 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即　　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．　　结合相反数的概念可知，除零外，绝对值

2、相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．　　例1a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；　　(4)若｜a｜=b，则a=b；　　(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；　　(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．　　解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．　　(3)对．　　(4)不对．当a≥0时成

3、立．　　(5)不对．当b＞0时成立．　　(6)不对．当a＋b＞0时成立．　　例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．　　　解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．　　再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．　　于是有　　原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．　　

4、例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．　　分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．　　解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)　　　　　=｜3+｜3+x｜｜　　　　　=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)　　　　　=｜-x｜=-x．　　　　解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．　　(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；　　(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；　　(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；　　(

5、4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．　　　　说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．　　例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．　　解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．　　(1)当y=2时，x+y=-1；　　(2)当y=-2时，x+y=-5．　　所以x+y的值为-1或-5．　　例6若a，b，c为整数，且｜a-

6、b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．　　解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是　　　　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①　　或　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②　　由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，　　所以｜c-a｜+

7、｜a-b｜+｜b-c｜=2．　　　　解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．　　因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，　　所以　　　例8化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．　　分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对

8、值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即　　　这样我们就可以分类讨论化简了．　　　　　　　　　　　　原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；　　　　　　　　　原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；　　　　　　　　原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．　　即　　　　　　　　　　　　说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零