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时间:2020-05-24
《中学数学竞赛讲座及练习(第2讲)绝对值-学生版.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第二讲绝对值 绝对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题. 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识,然后进行例题分析. 一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值. 结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝
2、对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数. 例1、a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件? (1)|a+b|=|a|+|b|; (2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|; (4)若|a|=b,则a=b; (5)若|a|<|b|,则a<b; (6)若a>b,则|a|>|b|.例2、设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|. 例3已知x<-3,化简:. 例4若,则的所有可能值是什么? 说明本例的解法是采取把a,b,c中大于零
3、与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用. 例5若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.例6若a,b,c为整数,且|a-b|19+|c-a|99=1,试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值. 例7若与互为相反数,求的值。 例8化简:|3x+1|+|2x-1|. 说明解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数轴分成几个部分,根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”. 例9
4、已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y的最大值. 例10设a<b<c<d,求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值. 例11若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x该满足的条件及此常数的值. 练习二 1.x是什么实数时,下列等式成立:(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|; (2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5). 2.化简下列各式:(1) (2)|x+5|+|x-7|+|x+10|.3.若a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b|.4.已知y
5、=|x+3|+|x-2|-|3x-9|,求y的最大值.5.设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15,对于满足p≤x≤15的x来说,T的最小值是多少?6.已知a<b,求|x-a|+|x-b|的最小值.7.不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么B点应为(). (1)在A,C点的右边; (2)在A,C点的左边; (3)在A,C点之间; (4)以上三种情况都有可能.
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