考研数学一数一线代大题汇编

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1、2017（20）(本题满分11分)．设矩阵有3个不同的特征值，（I）证明：;（II）若，求方程组的解.（21）（本题满分11分）．设二次型在正交变换下的标准形为，求的值及一个正交矩阵。2016（20）（本题满分11分）设矩阵当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵（I）求（II）设3阶矩阵满足，记将分别表示为的线性组合。2015(20)(本题满11分)设向量组内的一个基，，，.（I）证明向量组为的一个基;（II）当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.(21

2、)(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.201420)(本题满分11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.(21)(本题满分11分)证明阶矩阵与相似.2013（20）（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。（21）（本题满分11分）设二次型，记。（I）证明二次型对应的矩阵为；（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。2012（20）（本题满分11分）设，（Ⅰ）计算行列式A.（

3、Ⅱ）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.（21）（本题满分11分）已知，二次型的秩为2（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求利用正交变换将化为标准形201120、（本题满分11分）设向量组，，不能由向量组，，线性表示；（1）求的值；（2）将用线性表示；21、（本题满分11分）A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求（1）A的特征值与特征向量（2）矩阵A2010(20)(本题满分11分)设向量组，不能由向量组，，线性表示．(I)求的值；(II)将由线性表示．(21)(本题满分11分)为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．(I

4、)求的特征值与特征向量；(II)求矩阵．2009(20)(本题满分11分)设,已知线性方程组存在两个不同的解.(I)求,；(II)求方程组的通解.(21)(本题满分11分)已知二次型在正交变换下的标准形为,且的第三列为.(I)求矩阵；(II)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.2008(20)(本题满分11分)设,(Ⅰ)求满足的所有向量；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量,证明：线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型(Ⅰ)求二次型的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型的规范形为,求的值.2007(20)(本题满分10分)

5、，是三维列向量，为的转置，为的转置(I)证；(II)若线性相关，则.(21)(本题满分12分)设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，(I)求证(II)为何值，方程组有唯一解，求(III)为何值，方程组有无穷多解，求通解2007(21)(本题满分11分)设线性方程组与方程有公共解，求得值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量,记，其中为3阶单位矩阵.(I)验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；(II)求矩阵.2006(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组有个

6、线性无关的解(I)证明方程组系数矩阵的秩;(II)求的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设阶实对称矩阵的各行元素之和均为,向量是线性方程组的两个解.(I)求的特征值与特征向量(II)求正交矩阵和对角矩阵,使得.200520)(本题满分9分)已知二次型的秩为2.(I)求的值；(II)求正交变换，把化成标准形；(III)求方程=0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵(为常数)，且,求线性方程组的通解.2004(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组试问取何值时，该方程组有非零解，

7、并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化.2003九、(本题满分10分)设矩阵，，，求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为，，.试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为2002九、(本题满分6分)已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，.如果，求线性方程组的通解.十、(本题满分8分)设为同阶方阵，(1)如果相似，试证的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.

8、(3)当均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.2001九、(本题满分6分)设为线性方程组的一个基础解系，其中为实常数.试问满足什么关系时，也为的一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3阶矩阵与三维向量,使得向量组线性无关，且满足(1)记求2阶矩阵,使(2)计算行列式2000十、(本题满分6分)设矩阵的伴随矩阵且其中为4阶单位矩阵，求矩阵.十一、(本题满分