考研数学一数一线代大题汇编

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2017（20）(本题满分11分)．设矩阵有3个不同的特征值，（I）证明：;（II）若，求方程组的解.（21）（本题满分11分）．设二次型在正交变换下的标准形为，求的值及一个正交矩阵。2016（20）（本题满分11分）设矩阵当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵（I）求（II）设3阶矩阵满足，记将分别表示为的线性组合。2015(20)(本题满11分)设向量组内的一个基，，，.（I）证明向量组为的一个基; （II）当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.(21)(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.201420)(本题满分11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.(21)(本题满分11分)证明阶矩阵与相似.2013（20）（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。（21）（本题满分11分）设二次型，记 。（I）证明二次型对应的矩阵为；（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。2012（20）（本题满分11分）设，（Ⅰ）计算行列式A.（Ⅱ）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.（21）（本题满分11分）已知，二次型的秩为2（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求利用正交变换将化为标准形201120、（本题满分11分）设向量组，，不能由向量组，，线性表示；（1）求的值；（2）将用线性表示； 21、（本题满分11分）A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求（1）A的特征值与特征向量（2）矩阵A2010(20)(本题满分11分)设向量组，不能由向量组，，线性表示．(I)求的值；(II)将由线性表示．(21)(本题满分11分)为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．(I)求的特征值与特征向量；(II)求矩阵．2009(20)(本题满分11分)设,已知线性方程组存在两个不同的解.(I)求,；(II)求方程组的通解.(21)(本题满分11分)已知二次型在正交变换下的标准形为,且 的第三列为.(I)求矩阵；(II)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.2008(20)(本题满分11分)设,(Ⅰ)求满足的所有向量；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量,证明：线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型(Ⅰ)求二次型的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型的规范形为,求的值.2007(20)(本题满分10分)，是三维列向量，为的转置，为的转置(I)证；(II)若线性相关，则. (21)(本题满分12分)设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，(I)求证(II)为何值，方程组有唯一解，求(III)为何值，方程组有无穷多解，求通解2007(21)(本题满分11分)设线性方程组与方程有公共解，求得值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量,记，其中为3阶单位矩阵.(I)验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；(II)求矩阵.2006(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组有个线性无关的解(I)证明方程组系数矩阵的秩;(II)求的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设阶实对称矩阵的各行元素之和均为,向量是线性方程组的两个解.(I)求的特征值与特征向量(II)求正交矩阵和对角矩阵,使得.200520)(本题满分9分)已知二次型的秩为2.(I)求的值；(II)求正交变换，把化成标准形；(III)求方程=0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵(为常数)，且,求线性方程组的通解.2004(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组 试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化.2003九、(本题满分10分)设矩阵，，，求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为，，.试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为2002九、(本题满分6分)已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，.如果，求线性方程组的通解.十、(本题满分8分)设为同阶方阵， (1)如果相似，试证的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.2001九、(本题满分6分)设为线性方程组的一个基础解系，其中为实常数.试问满足什么关系时，也为的一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3阶矩阵与三维向量,使得向量组线性无关，且满足(1)记求2阶矩阵,使(2)计算行列式2000十、(本题满分6分)设矩阵的伴随矩阵且其中为4阶单位矩阵，求矩阵.十一、(本题满分8分)某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为记成向量.(1)求与的关系式并写成矩阵形式：(2)验证是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；(3)当时，求1999十、(本题满分8分)设矩阵其行列式又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为求和的值.十一、(本题满分6分)设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，为B的转置矩阵，试证：为正定矩阵的充分必要条件是B的秩.1998十、（本题满分6分）已知二次曲面方程可以经过正交变换化为椭圆柱面方程求的值和正交矩阵十一、（本题满分4分）设是阶矩阵,若存在正整数使线性方程组有解向量且证明:向量组是线性无关的. 十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)的一个基础解析为试写出线性方程组(Ⅱ)的通解,并说明理由.1997七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设是秩为2的矩阵是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基.(2)已知是矩阵的一个特征向量.1)试确定参数及特征向量所对应的特征值.2)问能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设是阶可逆方阵,将的第行和第行对换后得到的矩阵记为(1)证明可逆. (2)求1996八、（本题满分6分）设其中是阶单位矩阵是维非零列向量是的转置.证明(1)的充分条件是(2)当时是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型的秩为2,(1)求参数及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程表示何种二次曲面.1995八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵的特征值为对应于的特征向量为求九、（本题满分6分）设为阶矩阵,满足是阶单位矩阵是的转置矩阵求1994八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为, 又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设为阶非零方阵是的伴随矩阵是的转置矩阵,当时,证明1993七、（本题满分8分）已知二次型通过正交变换化成标准形求参数及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设是矩阵是矩阵,其中是阶单位矩阵,若证明的列向量组线性无关.1992八、（本题满分7分）设向量组线性相关,向量组线性无关,问:(1)能否由线性表出?证明你的结论.(2)能否由线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵的特征值为对应的特征向量依次为 又向量(1)将用线性表出.(2)求为自然数).1991七、（本题满分8分）已知及(1)、为何值时不能表示成的线性组合?(2)、为何值时有的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设是阶正定阵是阶单位阵,证明的行列式大于1.1990七、（本题满分6分）设四阶矩阵且矩阵满足关系式其中为四阶单位矩阵表示的逆矩阵表示的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型成标准型.1989七、（本题满分6分）问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明(1)为的特征值.(2)为的伴随矩阵的特征值.1988七、（本题满分6分）已知其中求八、（本题满分8分）已知矩阵与相似. (1)求与(2)求一个满足的可逆阵1987九、（本题满分8分）问为何值时,现线性方程组有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.