高中数学复习指导：如何避免函数中的分类讨论

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1、如何避免函数中的分类讨论我们以函数题为例来说明如何避免分类讨论・1、先最值，后单调.先利用函数的最大值或最小值压缩有关参数的取值范围，使函数在较小的范围上的单调性比较简单，从而避免函数在较大参数范围中单调性的讨论•例1：函数/(x)=-x2+2x,xg［0,2］在［“］上的值域为岸，計其中0VGd,求d、方的值.下面给出两种解法，解法1避开讨论，解法2利用了讨论.解法1:f(x)——x~+2x——(x—1)~+1W1,兀w[0,2],:.丄v丄S1,又0

2、b]为减函数，又值域为[+'丄]'.1I1—。~+2。=—(1),・；/(a)=—=匚・・°・

3、,b］的左边时,l

4、+x,h(x)=-x24-—・则/(x),g(x)，h(x)22的值(选出所有正确答案的序号填在横线上).①都大于1②都小于1③至少有一个不小于1④至多有两个大于1.分析：按照一般思路，可以先在同一个坐标系屮画出三个函数的图象，然后根据图象的交点横坐标分横轴形成的不同区问进行讨论.但是若能注意到/(x)+g(x)+/i(x)=3,可以推断①②错误，③④正确.3、先单调性，后恒成立.当同一个函数既满足在某一区间上单调，又在这个区间上大于(或小于)0恒成立时，应直接利用单调性确定最值，把这个最值利用在恒成立屮，而不应孤立地转化恒成

5、立问题.例3：函数/(x)=log2(x2-ax+^a)在［2,+°°)上是增函数，求实数a的取值范围.解：设u{x)=x1-ax+3a.因为=log2u(w>0)为增函数，所以只要u(x)=x2-ax-^-3a>0在［2,+8)上恒成立①，且u{x)=x2-ax-}-3a在［2,+8)上是增函数②.单独求解①需要分类讨论，若联系②，在②的条件下①只须转化为w(2)>0.£<2根据上述分析：a只须满足{2"解得：—4vaS4.w(2)=4+d>0.4、先主元变换，后利用图象一般地，我们习惯于用兀表示函数的自变量，事实上，当题目

6、中出现対于某个字母在某个范I韦I内的取值使某个不等式恒成立或有解时，可以构造以这个字母作为自变量的函数.例4：对于满足m<2的所有实数加，求使不等式x2+mx-^>2x+m恒成立的兀的取值范围.解：不等式兀$+加+1>2x--m可化为(x-l)m+x2-2x+1>0.令/(m)=(x-1)/71+x2-2x4-1,me(-2,2),则关于加的函数为常数函数或一次函数，在加w(-2,2)上其图象是一条线段.故只须/(-2)>0且/(2)>0.x~—4%+3>0,x2-l>0.5.先分离参数，再化方程有解为函数值域问题.关

7、于x的二次方程x2+(/72-1)x+1=O在区间(0,2)有解，求实数加的取值范围.分析：直接讨论二次函数/(x)=x2+(m-l)x+l的零点，需要分在区间(0,2)有1个或2个零点进行讨论，可先分离参数，化方程有解为函数值域问题.解：因为xg(0,2),所以原方程化为m=-x-丄+1・X而m=-(%+—)+1<-2+1=-1,x所以加的取值范围是(-00-1]・分类讨论是十分重要的数学思想方法，但是复杂的分类讨论带来了很大的计算量，事实上有些题目命题者设计了一些特殊的数量关系，挖掘这种关系，可能避开分类讨论.分类讨论是数

8、学的重要思想方法，但是分类往往很复杂.有些数学问题通过转化可以避开复杂的分类讨论，使问题变的简单.同学们可以解答下面的问题，尽量避开分类讨论,你从中也许再总结出一些避开分类讨论的具体方法.练习：1、若函数/(x)=x2-2x+3在区间[0,m]±有最大值3,最小值2,求实数m