高中数学人教B版必修4学案：2312向量数量积的运算律含解析

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1、2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律学习目标导航1•理解平面向量数量积的含义及其物理意义•(难点)2.体会平而向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.(重点)阶段1「认知侦习质疑知识梳理要点初探］［基础•初探］教材整理1两个向量的夹角阅读教材P

2、()7内容，完成下列问题.—►—►1.已知两个非零向量a,b,作OA=a,OB=b,则Z4OB称作向量a和向量方的夹角，记作〈“，方〉，并规定OW〈a,b}W兀，并且有〈“，方〉=〈方，a

3、〉.2.当〈4,方〉=号时，我们说向量a和向量方互相垂直，记作aA_b.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.3.当〈a,b)=0_时，a与b同向；当〈a,b)=兀时，a与“反向；当〈a,b)=乡或a与b屮至少有一个为零向量时，a丄b.【解析】根据向量夹角定义可知向量/B,/C夹角为ZBAC,而向量C4,力3夹角为兀一ZBAC,故二者互补.【答案】互补教材整理2向量在轴上的正射影阅读教材PI08"例1”以上内容，完成下列问题.己知向量a和轴/如图2・3・2.作=过点0,/分别作轴/的垂线，垂足分别为则向量0川叫做向量a在轴/上的正射影

4、(简称射影)，该射影在轴/上的坐标，称做a在轴I上的数量或在轴I的方向上的数量.图2-3-2OA=a在轴I上正射影的坐标记作⑷，向量a的方向与轴I的正向所成的角为。，则由三角函数中的余弦定义有卬=冰0$e.°微体验°7T已知

5、a

6、=3,向量a与方的夹角为亍，则a在方方向上的投影为()3B也A・22C2D.

7、【解析】向量“在方方向上的投影为

8、a

9、cos0=3Xcos故选D.【答案】D教材整理3数量积的定义及性质和运算律阅读教材Pios“例1”下〜Piio内容，，完成下列问题.1.向量的数量积（内积）的定义：141创cos〈“，方〉叫做向量a和

10、b的数量积（或内积）,记作ab,即a-b=a\bcos〈a,方〉.由定义知，两个向量a与b的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零.2.平面向量数量积的性质:⑴如果q是单位向量，则ae=ea=acos〈“，e）；(2)a丄bUab=0；(3)as=

11、aF即a=y[cra；（4）cos〈“，方〉ab（5）0创三

12、4

13、虬3.平面向量数量积的运算律:⑴交换律：ab=ba；（2）分配律：（a+h）c=ac+hc；（3）数乘向量结合律：对任意实数儿有久（必）=（加）/=©（肋）.o微体验o已知点B,C满足AB=3f

14、BQ=4,

15、G4

16、

17、=5,贝UBBC+BC-CA+CAAB的值是()D.24A.-25B.25C.-24【解析】因为

18、/B

19、2+

20、BC

21、2=9+16=25=

22、C4

23、2,所以Z/BC=90。，—►—►—►―►―►―►—►—►所以原式=ABBC+CA(BC+AB)=0+CAAC=-AC2=-25.【答案】A［质疑•手记］解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：疑问4：解惑：阶段2介作探究通关(分组讨论疑难细究)［小组合作型］与向量数量积有关的概(1)以下四种说法中正确的是•(填序号)①如果a-h=O,则a=0或b=0；②如果向量a与b满足a・b<0,则“与b所成的角为

24、钝角;③ZX/BC中，如果ABBCF,那么为直角三角形；④如果向量“与方是两个单位向量，则a2=h2.(2)已知

25、“

26、=3,

27、创=5,Ha-b=-12,则“在〃方向上的投影为,b在a方向上的投影为・⑶已知等腰△ABC的底边BC长为4,则BABC=.【精彩点拨】根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.【自主解答】(1)由数量积的定义知a-b=a\bcos6(0为向量°,方的夹角).①若a・b=O,则〃=90。或“=0或b=0,故①错；②若a-b<0,则0为钝角或0=180°,故②错；①由ABBC=0知5=90°,故厶ABC为直角

28、三角形，故③正确；②由a在书写数量积时"与〃之间用实心圆点“•”连接，而不能用“X”连接,更不能省略不写.求平面向量数量积的方法：=a2=l,b⑴若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a^b=a\bcos0.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何=b意义求ab.［再练一题］1•给出下列判断：①若a2+b2=0f贝lja=b=0；②已知a,b,c是三个非零向量,若a+方=0,贝0

29、a-c

30、=

31、6-c

32、；③a,b共线^a*b=a\b；④a\b

33、的夹角为0,则有a*h=a9hcos0=—12,所以向量”在向量方方向上的投影为

34、^

35、-cos。=晋=一?2=—¥；向量〃在］2向量〃方向上的投影为

36、6

37、*cos0=*j