第14讲多次相遇问题

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1、第十四讲多次相遇问题模块一、多次相遇1.直线型相遇问题：（1）两地相向同时出发:第1次相遇，共走1个全程;第2次相遇，共走3个全程;第3次相遇，共走5个全程;第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第一次相遇，剩下的相邻两次之间都是2个全程，即一个人第1次如果走了N米，以后每次都是走了2W米。（2）同地同向同时出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；第N次相遇，共走2N个全程；2.环形跑道相遇问题：（1）同一地点同时出发，如果是背向而行，则每合走一圈相遇一次；（2）同一地点同时出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次；例1.（1）甲

2、、乙两车分别从相距900千米的A、B两地同时出发，在人、3间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米，那么甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后—小时，第二次迎面相遇后又经过_小时，甲、乙两车第三次相遇，甲第一次从后而追上乙车是在出发后_小吋。（2）甲、乙两车同时从4、3两地相对开出，两车第一次在距离A地30千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达B、A后，立即沿原路返回，第二次在距A地60千米处相遇，则A、B两地间的距离是_千米。解：（1）第二次相遇时,两车合走了3个全程,3x900=2700（千米）,2700-（25+20）=60（小时）,第二次相

3、遇后又合走了2个全程后，第三次相遇，比00"25+20）=40（小时）。甲第一次从后面追上乙，即甲比乙多走了900千米，所以900-（25-20）=180（小时）。（2）.3Q千米60彳F米T—!:f•笫一次相遇在距离A地30千米的C地，此时甲走了30千米，第二次相遇，两人合走了3个全程，所以甲走了3x30=90千米，即甲到达B地后返回途中走到距A地60千米的£）点处，CD=30千米，AD=60千米，AB+BZX90,所以60+2>

4、续行进,甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回，若两人第二次相遇的地点距第一次相遇点50千米，则A、B两地相距千米。—丄十iD1c**!-50千米，AB=2CD=IO0千米。例3.A、B两地相距950米，甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时，甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟跑150米，则甲、乙二人第次迎而相遇时距离B地最近。解：第一次迎面相遇时,两人合走了2个全程,即950x2-（40+150）=

5、10（分钟），此时甲走了40“0=400米，距离B地550米；第二次相遇时，两人合走了4个全程，此时甲走了400x2=800米，距离B地150米；第三次相遇时，两人合走了6个全程，此时甲走了400x3=1200米，距离B地250米；第七次相遇时,两人合走了14个全程，此时甲走T400x7=2800米,3x950-2800=50（米），所以在第七次相遇时，距离B地50米，这时是最近的。例4.（1）小明和小强在操场上比赛跑步，小明每分钟跑250米，小强每分钟跑210米，一圈跑道长800米，它们同时从起跑点出发，那么小明第二次超过小强需要分钟；（2）黑、白两只猫在周长为300米的湖边赛

6、跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米，若两只小猫同吋从同一地点出发背向而行，秒后两只小猫第一次相遇，如果它们继续不停地跑下去，2分钟内一共相遇次；（3）甲、乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步出发点在圆直径的两端，如杲他们同时岀发，并在甲跑完60米吋第一次相遇，乙离跑一圈还差80米吋两人第二次相遇，则跑道的全长是米。解：（1）小明第二次超过小强，比小强多跑了1600米，所以1600-（250-210）=40（分钟）；（2）背向出发,第一次相遇,300-（5+7）=25（秒）,2分钟=120秒,120^25=4……20。它们一共相遇4次；（3）第一次相遇，两人合跑了半圈，甲跑了

7、60米，乙跑了丄兀-60米，第二次相遇时，两人和跑了一圈半，2所以甲跑了3x60=180米，乙跑了3x（丄兀-60）=jl80,解得x=200米。模块二、柳卡图：柳卡图是有S-T图（时间距离图）简化得到的，常常用于解决求相遇次数的问题，也可以与沙漏模型结合，求解相遇时间和路程。对于求相遇次数，柳卡图不需要公式，只需要画出交线，再计算符合要求的交点个数即可，此外柳卡图还可以体现运动过程的“相遇点次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇地点求岀全程的长度”。但一般往往需要先计算出两者走完