多次相遇问题

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1、“多次相遇问题”剖析　　一、直线型　　直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。现在分开向大家一一介绍：　　(一)两岸型　　两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。　　1、迎面碰头相遇：　　如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，(为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出)则共走了1个全程，到达对岸b后两

2、人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2个全程。所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)S，S为全程。　　而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。　12　相遇次数     全程个数    再走全程数　　1            1           1　　2            3           2

3、　　3            5           2　　4            7           2　　…            …          …　　n           2n-1         2　　2、背面追及相遇　　与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。则第一次背面追及相遇在a处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背

4、面相遇时，两人的路程差为3个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)S。　　(二)单岸型　　单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。 　　1、迎面碰头相遇：12　　如下图，假设甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了4份，再过1分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇

5、相同，依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为2ns。　　2、背面追及相遇　　与迎面相遇相似，假设全程为3份，甲每分钟走1份，乙每分钟走7份，则第一次背面相遇在a处，2分钟后甲走了2份，乙走了14份，两人在b处相遇。第一次相遇，两人走的路程差为2S，第二次相遇两人走的路程差为4S，依次类推，可以得出：当第n次追及相遇时，两人的路程差为2ns。　　“直线型”总结(熟记)　　①两岸型：　　第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是(2n-1)S。　　第n次背面追及相遇，两人的路程差是(2n-1)S。　　②单岸型：　　第n次迎面碰头相遇，两人

6、的路程和为2ns。　　第n次背面追及相遇，两人的路程差为2ns。12　　下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：　　{模型一}：根据2倍关系求AB两地的距离。　　【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A，乙从B同时出发，第一次相遇点距B　　60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米？　　A、150     B、170            C、180         D、200　　【答案及解析】B。如下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab的距离为10。以乙为研究对象

7、，根据2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即为60×2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=110米，则AB距离为110+60=170米。　　{模型二}：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。　　【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次？　　A、2     B、3            C、4        D、512　　{模型三}：告诉两人的速

8、度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。　　【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行　　20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第1