《余弦定理》教案

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1、余弦定理一、教材分析 “余弦定理”是高中数学的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。其次，余弦定理在高中

2、解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。二、教学目标：1.理解并掌握余弦定理和余弦定理的变形；2．掌握余弦定理的推导、证明过程；3.熟练余弦定理及其变形的顺用与逆用，并能解决“两边及其夹角”、“三边”问题。4．通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力；通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。三、教学重点难点：余弦定理的发现及其证明过程．教学过程：1.问题引入．我们知道，对于三角形的三条边长和三个内角，如果给定其中的三个独立条件，那么就可以求出这个三角形的其它边长

3、或内角。问题1：对于一个三角形，给定其中三个独立条件的情况有哪几种？问题2：在以上几种情况中，哪些比较适合用正弦定理来求解？问题3：在△ABC中,已知AC＝5,BC＝8,C＝60°,求边AB的长.<法1>:<法2>：问题4:在△ABC中,已知AC＝b,BC＝a,以及角C,求边AB的长c.1.构建模型，解决问题．<法1>：（构造直角三角形）图2如图2，过点A作垂线交BC于点D，则｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，所以，．图3<法2>：（向量方法）如图3，因为，图4所以，即．<法3>：（建立直角坐标系）建立如图4所示的

4、直角坐标系，则A（｜AC｜cosC,｜AC｜sinC），B（｜BC｜,0），根据两点间的距离公式，可得，所以，．活动评价：师生共同评价板演．2.追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有成立．类似的还有其他等式，，．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题5：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程

5、，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等．1.探幽入微，深化理解．问题6：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？学生活动：是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处

6、看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．问题7：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即．2.学以致用，拓展延伸．练习：1．在△ABC中，若a＝3，b＝5，c＝

7、7，求角C．2．（1）在△ABC中，若，解这个三角形．（2）在△ABC中，，求a．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决．思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．