logistic曲线推导

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1、一．(1)指数增长的微分方程：dNdt=γΝ.将K引入指数方程后得到：dΝdt=γΝΚ-Νk式中dN/dt是种群的瞬时增长量，γ是种群的内禀增长率，N是种群大小。于是，可以得到种群大小与时间的变化关系dΝ1Ν+1Κ-Ν=γdtNt=K1+KN0-1e-rt则有逻辑斯蒂增长示意图如下：（a）当N小于K时(K=800;r=0.8;N0=3)：（b）当N大于K时(K=800;r=0.8;N0=6000)：(2)当种群数量大于或小于环境容量时，增长速度减缓的点即求dΝdt的倒数为零的点。dΝ2dt2=r2ΝΚ-ΝΚ

2、1-2ΝΚ=0NK=12或N=K(a)当ΝK时，增长速度减缓的点应在N=K处。二．根据教科书所给数据（表4-1藤壶的生命表）计算如下:（1）换代时间：Τ=i=0ntiNxii=0nNxi=142×0+1×62+2×34+3×20+4×15.5+5×11+6×6.5+7×2+8×2+9×0142+62+34+20+15.5+11+6.5+2+2+0≈1.3年（2）净增长率：R0=i=0nNiN0=142+62+34+20+15.5+11+6.5+2+214

3、2≈2.0774（3）增长率：γ=lnR0T=ln2.07741.3≈0.5624三．物种1、物种2在竞争中的种群增长方程：dN1dt=r1N1K1-N1-α12N2K1dN2dt=r2N2K2-N2-α21N1K2（1）α12=0.6<Κ1Κ2=100120≈0.833;α21=0.8<Κ2Κ1=120100=1.2物种1、物种2共存，并达到某种平衡。若改变α12或α21会得到不同情况的图形。α12=0.9；α21=0.8(2)α12=0.9>Κ1Κ2=100120≈0.833；α21=0.8<Κ2Κ1=

4、120100=1.2物种1被排斥、物种2取胜；α12=0.6；α21=1.3(3)α12=0.6<Κ1Κ2=100120≈0.833；α21=1.3>Κ2Κ1=120100=1.2物种2被排斥、物种1取胜；