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《等角圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第卷第“期合肥工业大学学报自然科学版竺二止二二二二乙‘二二二二二二二等角圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法夏鼎立提要本文用微分儿何理论研究等角圆锥螺旋线的形成原理及表达式,用正投影原理、图,,研究它的图示解方法并得出结论等角圆锥螺旋线的水平投影是对数螺线其方程为“产’。,即可用儿何作图方法把它的三面本法只需计算曲线止的一个点·、、’。,投影绘制出来此方法简单方便住确书它用于工程设计上亦能满足设计的。精度要求,,几何关键词等角圆锥螺旋线定倾曲线对数螺线水平投影作图前言。,即螺距为常数由于在画法几何学及工程制图中所研究的圆锥螺旋线是变角和等距的,。,技术的进这种螺旋线与锥面素线的
2、夹角是变化的因此它不是定倾曲线随着科学的发展。但是人们对它的认识尚属开步一种新的等角圆锥螺旋线已开始应用于机械与电信工程上。,、图解理论在画法几何学及工程制图中也未提及笔者用微分始有关它的形成原理和图示、。几何学与画法几何的投影理论对等角圆螺旋线的形成条件与图示图解方法作初步研究等角圆锥螺旋线的形成原理及数学表达式。,凡曲率与挠率之比为常数的曲线称为一般螺旋线圆柱螺旋线就具由微分几何学知道·,,。有这样的性质,它与柱面素线的夹角为定值因此这类曲线又称为定倾曲线这种特性在圆锥面上形成的螺旋线也同样成立。,设正圆锥面上有动点对,、它由。运动到盯,时,在锥面上转过一个角当动点由,转,,
3、,也相应增大如图动到时在锥面上变化一个角则点到原点锥顶的矢径洲产,、曰、、四尹,,二,,“,此时胚直线方向也就是的切。当下一,,则所示。。。。,它与圆雍面素线的夹角就代表曲线该点的倾角设圆锥面上曲线对在任何一线方向点处,它与锥面素线的夹角为定值,即可推导出此曲线的表达式。一一收稿日期合肥工业大学学报自然科学版里年第卷‘户妇、,。。二,,二由图可知从直角三角形中得到一以二浏拼一沙一︸经整理得到以二丁将式两边同时积分·,·下之窄二丁忍将式由对数函数换成指数函数得二。。,。其中为积分常数。,,当点由运动到时在圆锥面上转过角对应于圆锥轴线转过一个角见,。勺在,图在扇形上有锥面上如将它展成
4、平面也是一个扇护户,、,下,一,形则有二下所以有或‘。二二一一。。,,⋯从八可知丫一,其中角是了生石刃。圆锥的锥顶半角下将代入式得丫,丫、、公式中除为参变量之外其余均。,为常数并令扭丫则式简化成’,公式为等角圆锥螺旋线的矢径方程万户价把,它化为参数方程则有二二口’了叮万“二,。’主之二。二丫万,,将式中的常量简化并令”丫丫,则有二口了‘忆、,夕刀,’主了、产、之二己第期夏鼎立等角圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法。公式是等角圆锥螺旋线的参数方程,,。,由公式可知当时即等回锥螺旋线的起点不在座标原点即不在锥,顶曲线的起始点距锥顶为,当动点在锥面上转动一周时切叨碑户二,它在锥面上
5、前进之距导程””,二尸当万点转动两周时等二角圆锥螺旋的螺距为产气功卜奋粉执臀,很显然它的螺距是变数而且螺距的磕增加不是简单地成正比例增加,而是。成几何级数增加由于等角圆锥螺旋线的螺距不是常数,因此它又称为变螺距定倾圆锥螺旋线。由图看出一,凡。曲线上每点的螺距均是变化的等角圆锥螺旋线的螺距随转角增大而增加,因此动点每转一圈的螺线介。长也不相同点转一圈的孤长为十‘“‘一二”洲’一式中夕。”士图之二,’、、二。二,二。、分别是式中对的微分将它们分别代入式中,并简化得一产一以等角圆锥螺旋线的投影特性了在水平面上的投影,二。,二。,我们知道空间曲线在面上的投影其座标为则公式中的因此等角圆锥
6、螺旋线的水平投影的参数方程为劣夕、尤把式平方相加简化成极座标方程得”’。公式表示一条对数螺旋线方程由此得出结论等角回锥螺旋线的水平投影是对。数螺线如图所示合肥工业大学学报自然科学版年第卷、在正面上的投影一正面投影的夕座标为则式简化成二解式之‘二,将式取对数得出一乃将式代入劣之言,之一乙,式中之一】‘一一了。,公式表示一条阻尼曲线见图但它的起点不在座标原点其起点座标分别为二儿之二在侧平面上的投影,因此公式简化成为在面上的投影川亡了之乙,用式的方法解出并代入式夕中得,儿‘之,。,。。公式代表一条阻尼曲线但它的起点不在座标原点而是在轴上且距点为如。图所示等角圆锥螺旋线投影图的绘制方法,
7、「、、。由图可知等角圆锥螺旋线在万面上的投影均为三种不同的超越曲线这、。,给它的图示图解带来极大的不便和困难唯一可行的方法就是描点法即根据等角圆锥螺、、,、、旋线的参数方程或者方程代入不同的值求出若干,。,。值再绘制出它的投影图很显然这种方法非常费时费事极为烦琐尤其指数函数的运,。。算很繁杂容易出错所以在工程上用描点法绘制等角圆锥螺旋线的投影图是不可行的本文介绍两种方法。方法根据以上分析,等角圆锥螺旋线的水平投影是对数螺线,如能把它的图形绘制出来,再,和,。,用锥面上取点的方法投
