等倾角变螺距圆锥螺旋线的几何特性及其作图方法

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1、第卷第期合肥工业大学学报自然科学版。咐。飞地等倾角变螺距圆锥螺旋线的几何特性及其作图方法夏鼎立提要本文应,用徽分几何理论和画法几何的图示与图解方法研究等倾角变螺距圆锥级旋线的几何特性及其投,,只描计算一个影图的绘制方法并得出如下结论等倾角变螺距圆锥螺旋线展开后是对数探线,即可用几何作图方法,,参数值画出展开图它的切线与面相交的轨迹也是对数螺线而且切线与,口,。面的夹角为常数即二。界渭等倾角变螺距圆锥螺旋线的主法线与轴垂直相交关键词等角变距圆锥螺旋线对数螺线轨迹主法线引言在文献〔〕中,对数等倾角变螺距圆锥螺旋线的形成原理及投

2、影图的绘制方法作了详尽的阐述。这种圆锥螺旋线其特点是任一点处的切线与圆锥素线的夹角为常数,而。。螺距是变化的这给作图带来困难文献【从理论上和作图方法上都作了圆满的解答、、本义在此基础上对等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图切线主法线等几个几何特性及。其作图方法进行理论研究等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图等倾角变螺距,“圆锥螺旋线是在正圆锥面上形成的一种空间曲线它的螺旋角是常,尸,。,数而螺距是变化的它随转角的增大而增加当圆锥展开后变成扇形螺旋线由空间。。曲线亦变成平面曲线现研究此平面曲线的变化规律和作图方法等倾角变螺距圆锥螺旋线的

3、参数方程【〕是介一护乙。夕式中,,,,为常数为锥顶半角为参数为等倾角变螺距圆锥螺旋线的螺旋角常数一一收稿日期©1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第期夏鼎立等倾角变螺距团锥螺旋线的几何特性及其作图方法,二是等倾角变螺距圆锥螺旋线的,二,直观图当点在锥面上转动时它,,。由肛上升到其导程为由式,二,“可知当,时消,,尹’由图可知则导程为一乃,一圆锥母线长为一”二,圆锥底半径长为,‘

4、正圆锥展开后的扇形角为一加丫一飞一当已知等倾角圆锥螺旋线的投影图及有关参数值,利用公式、、、即可准确地作出它的展开图。图是等倾角变螺距圆锥螺旋线的,正投影图面为了绘制其展开图可用图解法及计算法。图解法,用画法几何方法直接将正投影图进行。,展开作图首先把正圆锥展成扇形并作出相应的射线,然后在图中求出等倾角圆锥螺口、、、旋线各点到锥顶的真实距离口尸、。再将它们逐一量取到扇形的相应的少一射线上。最后光滑地把这些点连接起来,即得到等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图。如图所示。丫这种方法的作图精度取决于曲线的正投、影的作图精度和展开图的

5、作图精度。计算法根据前面推导的公式计算有关数值,即曝可作图。我们知道,正圆锥表面,展开后是扇形由锥面变成平面图形。等倾角变螺距圆锥螺旋线也随之由空间曲线变成平面曲线。。。等倾角变螺距圆锥螺旋线的极坐方程〔〕为一‘其中为参变量如果把锥顶,,。看成是极点把锥面上的每一条素线看成向径由于圆锥螺旋线的切线与素线的夹角是定©1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net合肥工业大学学报自然科学版年

6、第卷,‘,值因此它是锥面上一条对数螺线当锥面展开成扇形后曲线与射线之间的夹角仍保持不变,等倾角变辉距圆锥螺旋线也随之变成一条平面上的对数螺线。由于对数螺线是指数,。,。函数用计算法作图比较费时费事用文献〔〕介绍的方法作图非常简单方便图。。,图中的扇形是正圆锥的展开图为作图方便射线间的夹角相等口点当成极点两,点是等倾角变螺距圆锥旋线转动一周后一个导程的端点按文献幻推导的公式耐一。材尹二式中二咖界甲角之。必锥顶半角,——螺旋角向径之间夹角作图等分角—、、、、—,,由公式可知要作等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图只要已、。。。。知锥

7、顶半角螺旋角和常数即可计算出有关数据然后进行作图‘户异班”图介绍一种计算简单、作图方便的绘制等倾角变螺距圆锥螺旋线展开图的方法。其作图步骤如下、、、,、,、甲。由已知计算值©1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第期夏燕立等倾角变螺距圈锥螺旋线的几何特性及其作图方法由计算的、作扇形。处,并分其若干等分。图中分成等分材点作匕甲。,。甲过如乙与射线交于点再过点作乙匕与交于点。二。,。

8、,。。,。。过点作加与射线交于点再过点作与射线交于,、、、、。、。、、。‘点其余类推得到,等点,,,,,,、、,,,,,,将⋯二等点为中心旋转到相应的射线上去得到己一二各点最后光滑地连接它们即为所求圆锥螺旋线的展开图如图。等倾角变螺距圆锥螺旋线的切线及作图方法切线与水平面交点的轨迹曲线的切线方程为·十,