§3.2 导数的应用

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1、§3.2导数的应用考点一　函数的单调性1.(2014课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是(　　)A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)答案　C2.(2014课标Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(3)已知1.4142<2<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).解析　(1)f'(x)=ex+e-x-2≥0,

2、等号仅当x=0时成立.所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g'(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).(i)当b≤2时,g'(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.(ii)当b>2时,若x满足2

3、≤ln(b-1+b2-2b)时,g(x)<0.综上,b的最大值为2.(3)由(2)知,g(ln2)=32-22b+2(2b-1)ln2.当b=2时,g(ln2)=32-42+6ln2>0,ln2>82-312>0.6928;当b=324+1时,ln(b-1+b2-2b)=ln2,g(ln2)=-32-22+(32+2)ln2<0,ln2<18+228<0.6934.所以ln2的近似值为0.693.3.(2014广东,21,14分)设函数f(x)=1(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3,其中k<-2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);(2)

4、讨论函数f(x)在D上的单调性;(3)若k<-6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).解析　(1)由题意得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3>0,∴[(x2+2x+k)+3]·[(x2+2x+k)-1]>0,∴x2+2x+k<-3或x2+2x+k>1,∴(x+1)2<-2-k(-2-k>0)或(x+1)2>2-k(2-k>0),∴

5、x+1

6、<-2-k或

7、x+1

8、>2-k,∴-1--2-k-1+2-k,∴函数f(x)的定义域D为(-∞,-1-2-k)∪(-1--2-k,-1+-2-k)

9、∪(-1+2-k,+∞).(2)f'(x)=-2(x2+2x+k)(2x+2)+2(2x+2)2[(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3]3=-(x2+2x+k+1)(2x+2)[(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3]3,由f'(x)>0得(x2+2x+k+1)(2x+2)<0,即(x+1+-k)(x+1--k)(x+1)<0,∴x<-1--k或-1

10、,(-1+2-k,+∞).(3)由f(x)=f(1)得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3=(3+k)2+2(3+k)-3,∴[(x2+2x+k)2-(3+k)2]+2[(x2+2x+k)-(3+k)]=0,∴(x2+2x+2k+5)·(x2+2x-3)=0,∴(x+1+-2k-4)(x+1--2k-4)·(x+3)(x-1)=0,∴x=-1--2k-4或x=-1+-2k-4或x=-3或x=1,∵k<-6,∴1∈(-1,-1+-2-k),-3∈(-1--2-k,-1),-1--2k-4<-1-2-k,-1+-2k-4>-1+2-k,结合函数f(x)的

11、单调性知f(x)>f(1)的解集为(-1--2k-4,-1-2-k)∪(-1--2-k,-3)∪(1,-1+-2-k)∪(-1+2-k,-1+-2k-4).考点二　函数的极值与最值4.(2014课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=3sinπxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]20.(1)

12、讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2