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1、含体制变化的时间序列建模汉密尔顿《时间序列分析》第二十二章ffl321星西哥的银行美元JK户的比索值对银行比囊JK户的比索值之比率■月度数耀・1978—1985。（罗杰新1992）对于1982年以前的数据，我们可以使用模型兀-“=0（仏-“J+E对于1982年以后的数据，则可以使用模型开-“2=0（儿-“2）+®S,称作时期/的状态或体制。如果5,=1,则过程处于体制1；如果S严2,则过程处于体制2模型可以等价地写作A一出=0（）L-“J+d其中,傀在耳=1时等于耳，在耳=2时等于“2。马尔科夫链令耳为一个随机变量，它可假足为仅一个整数值{1,2,・..,N}。假定耳等于某个j
2、值的概率受过去的影响仅通过最近的仏值：p{=j^t-i=hst_2=k,...}=P{sf=jsr_l=i}=Pij这样一个过程称作转变概率为{p/戶…N的N状态马尔科夫链。转变概率Pij给出了状态i后继之以状态丿的概率。注意：几+必2+.・・+加T将转变概率列成一个称为转变矩阵的(NXW)矩阵P常常是方便的:(P\Pll…Pnp=PnP22…Pn2•••、PN•••Pin••••••…Pnn)P的第丿•行、第，列元素为转变概率心用一个向量自回归表示一个马尔科夫链马尔科夫链的一个有用表示可这样得到：令£表示一个(Nxl)向量，其第丿•个元素当$产川寸为一，其他情形
3、为零。*(1,0,0,...,0)$/=1g=<(0,1,0,...,0)sf=2•••••••••(0,0,0,...,1/st=N如果则爲的第/个元素为一个随机变量，以概率内取值一，其他情形取值零。这样一个随机变量有期望耳。因此，时，的条件期望为：'P"、E(知
4、冷)=Pi2•••PiN丿因此，上式表明而且确实，由马尔科夫性质P{®=jst_2=k9...}=P{st=j=i}=,进一步得到E(行也，知，…)=吃因此，由可能将马尔科夫链表示成知=P©+沧其屮咕三乩一£(乩
5、刁，知，…)马尔科夫链预测式V+1=呛+%+1表明乩=%+P%T+P+m-2+••・+Pf+P
6、”E对上式两边取条件期望，得前加期的马尔科夫链预测值可由E(h也，知，…)来计算。如果过程在时期『取状态匚贝IJ(22.2.9)断言5仏刊心｝、%『2卜円｝=严乜•••｛仏=仲；"｝丿其中，弓表示®的第i列。这就表明马尔科夫链的前加期转变概率可由矩阵P自身的加倍而得。可约马尔科夫链对于一个二状态马尔可夫链，其转变矩阵为/1Dp\1—P22r=U-AiP22丿假定几=1,所以矩阵P是上三角形的于是，只要矩阵进入了状态1,则没有可能再进入状态2(Pi2=0)o在这样一个情形下，我们要说状态1是吸收状态而马尔可夫链式可约的。更为一般地，一个N状态马尔可夫链称为可约的，如果存在一个
7、办法来标明各状态使得转变可写成形式(BC)P=WD)B表示一KxK矩阵。如果P是上三角形的，则对于任意…严也是。因此,只要这样一个过程进入状态丿，丿VK就没有可能再进入状态K+l,K+2,…,N中的一个。一个马尔可夫链不是可约的，则称为不可约的。遍历马尔科夫链厶+门2+・・・+皿=1要求Z的每一列之和为1,或者Pl=l其中，1表示一个各元素为1的Nxl向量。这表明1是矩阵P的特征值且1是与其相应的特征向量。因为一个矩阵和其转置矩阵有同样的特征值，所以1是任意马尔可夫链的转变矩阵P的一个特征值。考察一个转变矩阵为P的N状态不可约马尔可夫链。假定P的一个特征值为1且P的其余特征值全
8、部落在单位圆之内，则马尔可夫链称为遍历的。P的与单位特征值相应的特征向虽被定义为遍历链的遍历概率,即遍历概率向帚「满足P7t-71该特征向量龙是正规化的，所以其元素之和为lo可以证明：如果F是遍历马尔可夫链的转变矩阵，则limP”"/对于相异特征根的情形，P总可以写成P=TLr'{Jordan分解)>T是一个NxN矩阵，其各列是P的特征向量,>A是一个对角形矩阵，其主对角线包含了P的对应特征值，因为A的(1,1)元素为1而A的其他元素都落在单位圆之内，A"收敛于一个(1,1)位置为一，其余位置为零的矩阵。因而，limPm=limTAmT~l=>00加T8>X是厂的第一列p是对应
9、于单位特征值的特征向量，其特征向量记作71,艮卩X-71>V是厂第一行当表示成列向量时，对应于P的与单位特征值相应的X=71将・特征向量，可见其特征向量比例于1,即y=a^o代入limPm=兀g/得出limPm=龙gzl'm—>com—>oo严,可解释作一个转变概率矩阵，其每列之和须为一。遍历概率向量龙由条件1方=1正规化。由此得出正规性常数&须为lo因此，lim严=帀0。加一>8limPtn=兀g表明:加—>8也就是说，一个遍历马尔科夫链的长期预测独立于当期状态。遍历概率向量也视作N个不同
