7、a,b为何值时，方程组£兀I+兀？+兀3+兀4=0x2+2x3+2x4=1_A*?+(Q—3)x^—2兀4=b3"+2兀2+*3+7-一1有唯一解、无解或有无穷多解？在有解吋,j1110_"10-1-1-1_01221012210-1Q—3-2b00a一10b+1_321a-1_000a- 求其通解.解:in*An(b—d+2ci—2b—3心l,唯一解界,[a-la-Q=I"工一1，无解Q=l,b=-1,无穷多解.通解兀五、（8分）求向量组⑦=[1,2,3,4卩©2=[2,3,4,5卩,巾=[3,4,
8、5,6/,巾二[4,5,6,7卩的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：123410-1-223450123T3456000045670000极大无关组e，。2，且$=一a、+2a2,a4=-lax+3a2六、（10分）设esa是疋的一组标准正交基，且々122^212々22101二§。1_§。3，02二§°1+§"2+§。3，03二§"1（1）证明几,02，03也是疋的一组标准正交基；（4分）⑵证明基0,。2，巾到基几,02，几的过渡矩阵为正交矩阵；（3分）⑶求向量a=a}+2a
9、2-a3在基卩、，卩队下的坐标。（3分）证明：（1）由于⑦，a2,他是疋的一个标准正交基，所以有：01：,丿=1,2,3,ny=(]32（2）、过渡矩/二一3223丄3232__122__122_33333332=A,因为AtA=2122123033333312212213__333._333_2j••l=J所以/为正交矩阵（3）、因为。在基a©,。?下的坐标是x=[l,2,-l]所以"在基",肉,属下的坐标是y=A~lx]_3232_323丄3232323]_~312-1A~}=Ar]_3232323
10、J_32_32323]_■32-17323]_3七、（12分）设实对称矩阵/=-1-1-11-1-1-1-11-1-1-1，问/是否能与对角阵相似？若能与对角阵相似，求对角阵A及可逆阵戶，使得P-}AP=A,并求（A为正整数）.解：
11、2/-牛仇+2)(23A的特征值为人=2,入=-2oA=2对应的特征向量为§=[1,一1,0,0卩,佥=[1,0,-1,0卩乙=[1,0,0,-1]■111r「2_-10012,则P'}AP=0-101200-1i__-2_=A,Ak=令卩=入=一2对应的特征向量为灯二「1,
12、1,1,『因为/有四个线性无关的特征向量，所以力可以对角化。2律,k为偶数2k']A,k为奇数八、（10分）用非退化线性变换将二次型/（xpx2,x3）=X：+X；++4x,x2+4x[兀3+4x2x3化为标准型.22,
13、刀一彳=(/1+1)2(久一5),・••人=入=—1,入=5.1解：A=122(-I-A)X=0有基础解系X,=
14、-l,l,0]r,笛=
15、-1,0,『，正交化、单位化得6=-^1-1,1,01^,$=-1,2]卩;（5/-A）X=O有基础解系兀=[1,1,l]r，取爲=令T=g，§3】，
16、X=TY,则/(xpx2,x3)=XTAX=-y^-5^.九、（6分）设实对称矩阵/和3是相似矩阵，证明：存在正交矩阵T,使得TW=B・证：设人，入，…，入为/的特征值，因为4〜B,所以力和〃有相同的特征值，因此B的特征值也是人，入，…，人，又因为43为实对称矩阵，故存在正交矩阵“，使得7]廿7＞力昭（九盒，…,人）,璟盯2=山飓（入，心…，和,令T=TT『,则T为正交矩阵，且T~[AT=B.附：各章试题分值所占比例ChiC
