基于弹簧耦合的椭圆摆的仿真研究

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1、第２０卷第２期淮海工学院学报（自然科学版）Ｖｏｌ．２０Ｎｏ．２２０１１年６月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕａｉｈａｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｊｕｎ．２０１１ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－６６８５．２０１１．０２．００７基于弹簧耦合的椭圆摆的仿真研究＊成海英，张亚，陈冬冬（盐城工学院基础教学部，江苏盐城２２４０５１）摘要：利用Ｍａｔｌａｂ研究了弹簧耦合的椭圆摆的运动。在建立适当的物理模型后，数值求解运动微分方程。着重对该模型进行了计算机仿真，并作

2、出不同初始值下摆锤和滑块的位移随时间变化的关系曲线以及摆锤的运动轨迹，进行了必要的定性分析。为物理模型的研究提供了一种除实验、理论分析之外的极好的研究手段。关键词：椭圆摆；仿真；Ｍａｔｌａｂ中图分类号：Ｏ３１２文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－６６８５（２０１１）０２－００２３－０５ＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆＥｌｌｉｐｔｉｃａｌＰｅｎｄｕｌｕｍＣｏｕｐｌｉｎｇｂｙＳｐｒｉｎｇＣＨＥＮＧＨａｉ－ｙｉｎｇ，ＺＨＡＮＧＹａ，ＣＨＥＮＤｏｎｇ－ｄｏｎｇ（Ｄｅｐｔ．ｏｆＢａｓｉｃＳｃｉｅｎｃｅＳｕｂｊｅｃｔｓ，ＹａｎｃｈｅｎｇＩ

3、ｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｙａｎｃｈｅｎｇ２２４０５１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＷｅｓｔｕｄｉｅｄｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｐｅｎｄｕｌｕｍｃｏｕｐｌｉｎｇｂｙｓｐｒｉｎｇｂａｓｅｄｏｎＭａｔｌａｂａｎｄｓｏｌｖｅｄｔｈｅｄｉｆ－ｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｂｙｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓａｆｔｅｒｍａｋｉｎｇｐｒｏｐｅｒｐｈｙｓｉｃａｌｍｏｄｅｌ．Ｗｅｓｉｍｕｌａｔｅｄｔｈｅｍｏｖｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅｐｈｙｓｉｃｍｏｄｅｌｂｙｄｅｔｅｒｍｉｎａｃｙａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｇｏｔｄｉｆｆｅｒｅ

4、ｎｔｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｃｕｒｖｅｓｏｆｐｅｎｄｕｌｕｍｂｏｂａｎｄｓｌｉｄｅｒａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅ．Ｓｕｃｈａｓｔｕｄｙｐｒｏｖｉｄｅｄａｎｅｗｒｅｓｅａｒｃｈｍｅｔｈｏｄｅｘｃｅｐｔｆｏｒｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｎｄｔｈｅｏｒｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｐｅｎｄｕｌｕｍ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；Ｍａｔｌａｂ［２］０引言题的能力。Ｍａｔｌａｂ是一套高性能的数值分析和计算软件，１问题的阐述它将矩阵运算、数值分析、图形处理和编程技术结合在一起，广泛应用于高校课程的教学中［１］。计

5、算机在力学问题中经常会遇到称为“椭圆摆”的模［３］以及计算方法的高速发展使得计算机模拟成为物理型。如图１所示，质量为ｍ１的滑块和质量为ｍ２的研究中除实验、理论分析之外的第３种手段。这种摆锤由长为ｌ的杆光滑铰接，滑块可在光滑水平面变化势必会反映在大学物理课程的教学中。现在通上运动，摆锤在铅直面内摆动，整个系统在同一平面行的大学物理教材中单摆和弹簧振子模型是两个研内。因为摆锤在铅直面内的运动轨迹是椭圆的一部究简谐振动的常见和基本模型。分，故称之为椭圆摆。从椭圆摆模拟，本文讨论两个本文采用计算机数值计算方法，对教学中生成相

6、同的椭圆摆由弹簧耦合情况下的运动分析和动画的由常见模型组合而成的弹簧耦合摆模型进行可视模拟。如图２所示，两个单摆通过原长为ｌ、劲度系化分析，进一步提高学生研究物理的兴趣和解决问数为ｋ的弹簧相连，悬挂于可沿光滑轨道滑动的滑＊收稿日期：２０１１－０３－２２；修订日期：２０１１－０５－１６作者简介：成海英（１９７７－），女，江苏盐都人，盐城工学院基础教学部讲师，硕士，主要从事材料的磁学光学性质、物理问题数值计算方面的研究，（Ｅ－ｍａｉｌ）ｈａｉｙｉｎｇｃｈｅｎｇ＠ｙｃｉｔ．ｃｎ。２４淮海工学院学报（自然科学版）２０１１年６

7、月块上，滑块的质量为ｍ１，摆锤的质量为ｍ２，杆长为ｒ，整个系统可在同一竖直平面内运动。２理论基础在分析力学内容中，可以用广义坐标和广义动量来描述力学系统的运动，所有的广义坐标和广义［４］动量组成系统的相空间，应用拉格朗日方程理论求解该问题避免了牛顿力学的一些复杂的运算而使求解过程更加简洁明了。基于该模型，沿水平方向建立Ｏｘ轴，竖直方向作Ｏｙ轴，图示滑块和摆锤均可视为质点，以ｘ１，ｘ２，φ１，φ２为广义坐标。因本系统是保守系统，则系统的拉格朗日方程只需求出系统的动能和势能并作差：Ｌ＝Ｔ－Ｖ＝１（ｍ）ｘ２＋１＋ｍ２１２

8、１（ｍ）ｘ２＋１ｍ２ｒ２φ１２＋１ｍ２ｒ２φ２２＋１＋ｍ２２２２２ｍ２ｘ１ｒｃｏｓφ１φ１＋ｍ２ｘ２ｒｃｏｓφ２φ２＋ｍ１２，２ｇｒｃｏｓφ１＋ｍ２ｇｒｃｏｓφ２－ｋ（ｌ－ｘ２＋ｘ１）２（１）ｍ２令Ｍ＝，由拉格朗日方程得系统的运动微ｍ１＋ｍ２分方程为２Ｍｇ－Ｍｓｉｎφ１ｃｏｓφ１（φ１）＋ｋｃｏｓφ１（ｌ－ｘ２＋ｘ１）－ｓｉｎφ