高三文科数学考点15平面向量的数量积

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1、【考点剖析】1.最新考试说明：（1）理解平而向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投彫的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平血向量的垂直关系.2.命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题hl・平面向量数虽积、夹用模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与三角函数、解析儿何等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查.3•课本结论总结：（1）两个向量的夹角①定义：已知两个非零向量日和方，作OA=a,OB=b,

2、贝\ZAOB=〃叫做向量a与b的夹角.②范围：向量夹角&的范围是0。W&W180。，2与〃同向时，夹用〃=0。；刃与〃反向时，夹角0=180°.③向量垂直：如果向量0与&的夹角是90°,则曰与b垂直，记作力丄b.（2）平而向量数量积①已知两个非零向量a与b,则数量a\b•cos〃叫做a与b的数量积,记作日・Z?,即a9b=a\Z?

3、cos0，其中〃是a与〃的夹角.规定0・a=0.向量的投影：Ib

4、cos&叫向量〃在向量a方向上的投影当日丄厶时，〃=90。，这时a•b=0.②日•b的儿何意义：数量积日・&等于日的长度aLjb在日的方向上的投影Igloos0的乘

5、积.（3）向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a・e=e・a.②8丄b<=>a•b=0.③日・a=

6、a

7、2,a

8、=.a\b④cos0=a".（〃为日与&的夹角）①

9、a•〃

10、W

11、a

12、

13、b

14、・(4)数量积的运算律①交换律：a•b=b•a.②分配律：(a+Z>)・c=a・c.③对AER,A(a•b)=(Aa)•b=a・(久〃).(5)数量积的坐标运算设a=(ai,az),b=(A,b),贝ij：®a•b=ab+a^bi.丄bs—<3ib3?.b>—0.①

15、a

16、=yj击+孟②cos〃=竺丄=砧+严.(〃为已与方的夹角)4.名师二级结论：(1)向量方在£的方向上的投影

17、为丨引cos0=竺2.(2)若向量a〃方,且戻(兀],x),则可设a=(2xj,2)、).5.课本经典习题：(1)新课标A版第108页，习题2.4A组第3题已知

18、d

19、二2,

20、乙

21、二5,a•b=-3f求

22、a+b

23、,

24、a-b

25、.【经典理由】木题中是利丿IJ向量数量积求向量模的典型题.(2)新课标A版第108页，习题2.4A组第7题已知

26、a

27、=4,

28、^

29、=3,(2°-3忌)•(2°+乙)=61,求a与•万的夹角.【经典理由】本题屮是利川向量数量积求向量夹角的典型题.6.考点交汇展示：(1)与平面几何交汇[2016高考天津理数】已知是边长为1的等边三用形，点分别是边AB,BC的中点

30、，连接DE并延长到点F,使得DE=2EF则乔•荒的值为((A)(B)-(D)(2)与不等式交汇1.对任意向量方力，下列关系式中不恒成立的是()A.a-b

31、a-b<\a-b\C.(°+初$二

32、d+乙

33、2D.(a--b)(a-b)=a-b2.[2016高考浙江理数】已知向量a",Ia=1.,IbI=2,若对任意单位向量e,均有

34、a・el+l〃・e

35、

36、a

37、=l,

38、A

39、=2,a・b=l・若e为平面单位向量,贝Q

40、a・e

41、+

42、b・e的最大值是.【考点分类】热点1

43、平面向量数量积及其几何意义1.[2016高考江苏卷】如图，在AABC中，D是BC的中点，E,F是A,D±的两个三等分点，BC・CA=4,BFCF=-,则丽•乙疋的值是—▲2.设四边形ABCD为平行四边形，

44、AB

45、=6,

46、a5

47、=4.若点M,N满足BM=3MCfDN=2NCf则(A)20)(B)15(C)9(D)6【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a,方的模及夹角〃，利用公式a•b—a

48、Z?/cos0求解;②已知向最曰，b的坐标，利用数最积的坐标形式求解；③用平面向屋数量积的儿何意义计算.2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律

49、化简，再进行运算.【解题技巧】1.在解决与平面儿何冇关的数量积问题时，充分利用向屋的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来,再利用平而向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量方在向量么方向上的投影有两种思路：思路1,用I6Icos&计算;思路2,利用冬吵计算.1«13.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投彩已知或易计算，可以利用向量数量积的儿何意义计算.【易错点睛】1•向量的数量积不满足消去率和结合律.1.—个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也