自动控制原理 第3章

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1、第三章线性系统的时域分析法3.1动态和稳态性能指标3.2一阶系统的时域分析3.3二阶系统的时域分析3.4高阶系统的时域分析3.5线性系统的稳定性分析3.6控制系统的稳态误差3.7基于MATLAB的线性系统时域分析小结习题3.1动态和稳态性能指标3.1.1典型输入信号1.阶跃函数阶跃函数(见图3-1(a))的时域表达式为(3.1)式中,R为常数,当R＝1时,称r(t)=1(t)为单位阶跃函数。图3-1典型输入信号2.斜坡函数(速度函数)斜坡函数,也称速度函数(见图3-1(b))，其时域表达式为(3.2)式

2、中,R为常数。当R＝1时,称r(t)=t为单位斜坡函数。因为dr(t)/dt=R,所以斜坡函数代表匀速变化的信号。3.加速度函数加速度函数(见图3-1(c))的时域表达式为(3.3)式中，R为常数。当R＝1时,称r(t)=t2/2为单位加速度函数。因为d2r(t)/dt2=R,所以加速度函数代表匀加速变化的信号。4.脉冲函数脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为(3.4)式中,h称为脉冲宽度,脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于零的极限,则有(3.5)及(3.6)称此函数为理想脉冲函数,又称δ函数(见

3、图3-1(e))。5.正弦函数正弦函数(见图3-1(f))的时域表达式为(3.7)式中,A为振幅,ω为角频率。3.1.2动态过程和稳态过程1.动态过程动态过程又称过渡过程或瞬态过程,指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从开始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦以及其他一些原因,系统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构和参数选择的情况,动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。显然,一个可以实际运行的控制系统,其动态过程必须是衰减的,即系统必须是稳定的。动态过程除提供系统的稳定

4、性信息外,还可以给出响应速度、阻尼情况等信息。这些信息用动态性能描述。2.稳态过程稳态过程(稳态响应),是指当时间t趋近于无穷大时,系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度,提供系统有关稳态误差的信息,用稳态性能来描述。由此可见,控制系统在典型输入信号作用下的性能指标,通常由动态性能和稳态性能两部分组成。3.1.3动态性能和稳态性能稳定是控制系统能够运行的首要条件,因此只有当动态过程收敛时,研究系统的稳态性能才有意义。1.动态性能当系统的时间响应c(t)中的瞬态分量较大而不能忽略

5、时,称系统处于动态或过渡过程中,这时系统的特性称为动态性能。动态性能指标通常根据系统的阶跃响应曲线定义。设系统阶跃响应曲线如图3-2所示。图中为输出的稳态值。图3-2动态性能指标动态性能指标通常有以下几种:延迟时间td:指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间tr:若阶跃响应不超过稳态值,上升时间指响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间;对于有振荡的系统,上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越短,响应速度越快。峰值时间tp:指阶跃响应曲线超过稳态值,到达第一个峰

6、值所需要的时间。调节时间ts:在响应曲线的稳态线上,用稳态值的百分数(通常取5%或2%)作一个允许误差范围,响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内所需的时间。最大超调量σp:设阶跃响应的最大值为c(tp),则最大超调量σp可由下式确定:(3.8)振荡次数N:在0≤t≤ts内,阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次数的一半称为振荡次数。上述动态性能指标中,常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr评价系统的响应速度;σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度;ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出,

7、除简单的一、二阶系统外,要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。2.稳态性能稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标,通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间趋于无穷时,系统输出不等于输入量或输入量的确定函数,则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。3.2一阶系统的时域分析图3-3(a)一阶系统结构图；(b)简化结构图描述时间常数为T的一阶系统的微分方程和传递函数分别如下：(3.9)(3.10)3.2.1一阶系统的单位阶跃响应对于单位阶跃输入有由拉氏反变换

8、可以得到一阶系统的单位阶跃响应c(t)为(3.11)式中,cs(t)=1是稳态分量,由输入信号决定。ct(t)=-et/T是瞬态分量(暂态分量),它的变化规律由传递函数的极点s=-1/T决定。当t→∞时,瞬态分量按指数规律衰减到零。以下是一阶系统单位阶跃响应的典型数值。图3-4一阶系统单位阶跃响应曲线3.2.2一阶系统的单位脉冲响应如果输入信号为理想单位脉冲函数r(t)=δ(t),R(s)=1输出量