《连续体力学》习题及解答9

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1、9塑性物质（一）概念、理论和公式提要9-1经典塑性理论本章只介绍经典塑性理论和粘塑性本构方程，且都限于小变形情况。塑性变形是不可逆变形，塑性本构方程是非线性的，属于物理菲线性。经典塑性理论虽冇其广泛的应用领域，但在一些情况下，它就显得不足。例如，对于岩土类物质、粒状物质及高强度钢等力学性能的深入研究，经典塑性理论中的正交法则和塑性体积应变为零等经典假设就不适用；而要研究变形局部化问题，需要从大变形本构模型入手，在大变形条件下，往往伴随材料的损伤，因此在研究从变形到破坏的全过程中，必然要考虑大变形塑性•损伤本构方程等。经典塑性理论有两个基本假设或基

2、本前提：①在应力（或应变）空间内，存在屈服曲而。在小变形条件下，屈服曲而可表示为勺，0及％（内变量）的函数，即表示成g（®j，&，%）=0；也可表示成5，%的函数，即0,%）=0。在屈服曲面之内，^<0（W<0）,状态变化，塑性变形不变化；屈服曲面之上8=0（或/=0）,塑性变形处于可变化的状态，称为弹塑性状态。②加载过程和卸载过程服从不同的本构关系，加载过程是指塑性变形继续发展的过程，而塑性变形不变化的过程称为卸载过程。这两个基本假设在轴向拉伸试验屮是可以观测到的。图9・1示一拉伸曲线，包拈从任一点3卸载沿直线到达反向（压缩）用服点E处，此后乂

3、呈现曲线变化。从试验屮可观测到下列结果。A4//BBS=8C+£卩,£e=Q/e图9-1以上关系仅在变形不大时近似成立。在AA^WBB范围内，应力变化与应变化之间遵循Act=E/s或dcr=Ede分别称A、A和B、B'点为初始和相继弹性范围的边界，边界点A、(A')和B、(B)对应于弹塑性状态。当应力从B点向内变化时(卸载过程)，冇dcr=Eds当应力从B点沿曲线变化到C点时(加载过程)有da=Etde=Et(dee+dep)(9-1-1)(9-1-2)由dee=dcr/E及上式，易得Ep1_11~Ep=~E,~~E坊称为塑性模量，&是切线模量

4、，一般地它们都不是常数。d〉0是强(破)化物质，&=0为理想塑性物质，巴<0称为弱(软)化物质(图9-2)oE八0要求E>Et>0o(a)(b)§19-29-2初始屈服函数在一维应力状态下，初始弹性范围的边界⑺和A')可表示成(在应力空间，下同)f(a)=a2-a；=0(9-2-1)此处假定物质的拉、压用服极限相等。相继弹性范围的边界严)和十)则不唯一,而与变形历史有关。从图9・3易见，要确定或描述这些边界，例如点B或

5、,刃)=0(9-2-2)在上式中刃是内变量，是反应物质的强化特性的。弹性范围边界的数学表达式称为屈服函数。式(9・2・1)和(9・2・2)分别是初始屈服函数和相继屈服函数；初始屈服函数常简称为屈服函数。对于理想塑性物质，此时初始和相继弹性范围的边界重合，即屈服函数为式(9-2-1)0推广到一般应力状态，初始屈服函数可写作g)=0或f(a..)=f(a..)-c=O(9-2-3)一般情况下，厂(勺)是应力分量的齐次函数，c为物质的特性常数。相继屈服函数则一般地写成叽瑞,")=0(9-2-4)通常将温度作为影响物质特性常数的参变量，即c=c(0)。其

6、屮p是表征塑性变形积累的标量，反映物质的各向同性强化，需是二阶张量，反映物质的各向异性强化。对于金属，一般可假定：①是初始各向同性和指向同性的，后者指拉、压力学性质相同，②塑性或屈服与平均应力无关；因此初始屈服函数只与应力偏张量的不变量相关，且是应力分量的偶函数，即/(勺)=/(丿2,A2)=0(9-2-5)或J2='甘；J3=detT(9-2-6)2丁和勺•分别是应力偏张量及其分量。注意，此处及以下J2=-I2(T)o常用的(初始)屈服条件(函数)有©Mises屈服条件，其函数形式为/(<7..)=J2-Z:2=0(9-2-7)式中(巧表示主应

7、力)丿2二_a2>cr3)(9-2-9)或CTj-a2=+2k6-6=±2片(9-2-10)6-er〕=±2k式中k=^as=Ts9-3应力空间屈服曲面应力空间内任一点的坐标等于应力分量，它描述或代表一个应力状态，称为应力点；应力点的位矢b称为应力状态矢。同一单元体的应力状态变化，其应力点将在应力空间内移动，移动的轨迹称为应

8、力路径。对于各向同性物质，屈服与主应力方向无关，只与主应力的值相关，因此可以采用主应力空间。在主应力空间内，应力状态矢为a=aiei=a