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《《连续体力学》习题及解答2_工学_高等教育_教育专区》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2二阶张量及其若干运算法则（一）概念.理论和公式提要2-1张量的乘法①张量的外乘（并乘）张量的外乘用0表示，其外积为张量，其阶数等于外乘诸张量阶数之和。②张量的内乘（点乘）张量的点乘用匕”表示（有时也可省去“•”）,其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。③张量的双点乘记作“：”（两次点乘），例如A：B；其积为张量，其阶数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。设A为CT（m）,B为CT（〃），C为CT（p）,则A：B：C=D9D为CT（m+斤+p-2x4）（2-1-1）取加=4,n=4,p=2,则D为CT（2）,其分量为Da=Aijin
2、nB,nnrPCrP（2T-2）其中A分量的后两个指标与B分量的前两个指标，B分量的后两个指标与C分量的询两个指标依次相同O二阶张量T的范数记为
3、
4、7
5、定义为T：T=为正方根，且有(2-1-3)(2-1-4)(2-1-5)(2-1-6)(2-1-7)
6、
7、T
8、
9、>0,只当T=o吋才取等号
10、ar
11、
12、=
13、a
14、
15、
16、T
17、
18、,
19、a
20、为标量◎的绝对值
21、
22、r+i?
23、
24、<
25、
26、r
27、
28、+WT：国聊
29、・
30、网
31、八忤制问为矢量"的模，/?亦为二阶张量。⑤设A和B分是是CT0）和CT（"则4和B外积的s次缩拼为张量C,记为CSA®B=CC为O+/-25）阶张量，其分量关系为・•m
32、nCij…mn—Aj……k$Bk'kfks.反Z,如果已知B和C为张量，其分量与带指标的量务•满足上式，则务•为张量A的分量，称为商法则或张量识别定理。A的阶数等于C的阶数加减去B的阶数。特别地当s=t,B的分量的全部指标都是哑标时，则A的阶数等于B和c的阶数Z和。在笛卡尔坐标生系内，有xRe(2-1-9)(2-1-10)式屮兀和厂是点的位矢的分量，都是一阶张量，且丿是哑标，根据张量识别定理，巧是二阶张量的分量，这个二阶张量称为二阶单位张量，记作八其分量式为I=Sijei®ef=ei®®e}+e2®e2+e3®e3/的分量矩阵为单位矩阵。矢量°和〃的
33、叉积为axb=eijkajbkel=ciej5二旬g/休(2-M2)已知二阶张量ax方=所以上式屮◎仇是二阶张量的分量；按张量识别定理，勺从是三阶张量的分量，称为置换张量，记作w：w二夠斤©®c■0ek(2-1-13)2-2张量的代数运算法则可以将矩阵的某些代数运算法则移用到二阶张量和矢量的运算。以下设T为CT(2),且记[门为T的分量矩阵,{a}为矢量"的列阵。①记卩/•为T的转置，则有[Tt]=[T]tTj=TJt(2-2-1)②记detT^jT的行列式，则有(222)detT=det[T]=detT设A和〃都是CT⑵，则det(A•B)=det
34、(B•A)=(detA)(detB)(2-2-3)①设坊和兀分别是相对于基幻)和2；和勺)的分量，则冇町]=
35、厶]爲
36、【厶1卩其中(det[Z])2=1,于是由上式可得det[7；；]=det[7；/](2-2-4)上式表明，张量T的行列式是坐标不变性的，称为张量T的三次主不变量。当detTH0时，称T为正则张量。②记trT为张量T的迹，则有trT=tr
37、T]=trT7(2-2-5)以及tr(A-B)=tr(BA)=AT：B=A：BT(2-2-6)于是又有tr(A•B•C)=tr(C•A-B)=tr(B•C•A)(2-2-7)诃如=班[厶]込][厶卩
38、)=红込](2-2-8)上式表明，张量T的迹是坐标系不变性的，称为张量T的一次主不变量。③记厂】(或/)为张量T的逆，且有TT=I及T]=[T]'1(2-2-9)当张量存在逆时，称张量为可逆的；张量可逆的条件是张量为正则的。对于正则张量T,如果Ta=o,贝肱=0。④T=T2f则冇
39、72]=
40、7
41、2(2-2-10)以及Tn=T-T--T^n个相乘，贝IJ[Tn]=[T]〃为正整数(2-2-11)⑤设Ta=b,b为矢量,则有[T]{a}={b}(2-2-12)⑥设a・T=b,则有{a}T[T]={b'}或者[T]T{a}={b'},后一式对应于Tta
42、=b'o由此可得(2-3-2)(2-3-3)(2-3-4)(2-3-5)(2-3-6)(2-3-7)(2-3-8)于是(Aa)(Bb)=aArBb(2-2-14)2-3二阶张量的特征值和特征矢(1)二阶张量是仿射量，它将一个矢量线性变换为另一个矢量(映象)；一般地原矢量与其映象的方向和人小(模)都不相同。但是，对于任意二阶张量T存在特殊的矢量"使得Tv=Av(2-3-1)2为待求标量。上式表明，卩与映象方位相同。满足上式的矢量卩称为张量T的特征矢，2则称为T的特征值。式(2・3・1河写成(T-AZ)v=o/为二阶单位张量。上式的分量式(相对于给定的基
43、)为(Ty—A8^)Vy=0,i9j=1,2,3式(2・3・2)或(2・3・3)存在非零解(卩ho)的条件是
