2018年海淀二模数学文科

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海淀区高三年级第二学期期末练习2018.5数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知全集〃={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B=(1,3,5)，则©小B=(A){1}(B){3,5}(C){1,6}(D){1,3,5,6}(2)已知复数z在复平而上对应的点为(1,-1),则(A)z=-l+i(B)z=l+i(C)z+i是实数(D)z+i是纯虚数(3)若直线x+y+d=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴，则d的值为(A)1(B)-1(C)2(D)-2(4)已知x>y>0,贝(A)丄>丄(B)($>($(C)cosx>cosy(D)In(x+l)>ln(y+l)（5）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共斤颗，其中落在阴影区域内的豆子共加颗，则阴影区域的面积约为(A)—(B)(C)m7in(D)（6）设曲线C是双曲线，则“C的方程为兀2_Z_=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件 (7)某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况,对学生进行编号,用1,2,……300表示，并用(兀•,〃)表示第i名学生的选课情况•其中[0,笫/•名学生不选历史第i名学生选历史第i名学生不选地理第，名学牛选地理.根据如图所示的程序框图，下列说法小错误的是(A)加为选择历史的学生人数(B)〃为选择地理的学生人数(C)S为至少选择历史、地理一门学科的学生人数(D)S为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和(8)如图，己知直线y=kx与曲线y=/(x)相切于两点，函数巩兀)二总+加(加〉0),则函数F(x)=g(x)-f(x)(A)有极小值，没有极大值(B)有极大值，没有极小值(C)至少有两个极小值和一个极大值(D)至少有一个极小值和两个极大值第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)已知抛物线C的焦点为F(0,l),则抛物线C的标准方程为.(10)己知平面向量a,b的夹角为兰，且满足问=2,同=1,则二,|a+2引二(11)将函数/(x)=sin(%+-)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍。纵坐标不变, 得到函数g(x)=sin(azr+0)的图彖，则e二,(p=.(9)在AABC中，a::c二4:5:6,则tanA=. 的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有人.（14）某几何体的主视图和俯视图如右图所示，在下列图形中，可能是该儿何体左视图的图形是.（写出所有可能的序号）（13）A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院去参加献爱心活动.两个小区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表:A小区B小区往返车费3元5元服务老人的人数5人3人根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过37元，且B小区参加爱心活动的同学比A小区三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）己知等差数列｛色｝满足2%]-an=2/2+3.（I）求数列｛%｝的通项公式；（II）若数列｛an+bn｝是首项为1,公比为2的等比数列，求数列｛$｝的前〃项和.（16）（本小题13分）已知函数/（兀）=2cosxsin（x-彳）+£.（I）求曲线y=/（兀）的相邻两条对称轴的距离;（II）若函数/（兀）在[0,a]±单调递增，求Q的最大值. (17)(本小题14分)如图1,己知菱形AECD的对角线AC,DE交于点F,点E为4B的中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE位置，如图2所示.(I)求证：DE丄平面PCF；(II)求证：平面PBC丄平面PCF；(III)在线段PD,BC上是否分别存在点M,N,使得平ifij-CFM〃平面PEN2若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.图2(18)(本小题13分)某中学为了解高二年级屮华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929087909290第二轮测试成绩90909088888796928992(I)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率;(II)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；(III)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为西，X，考核成绩的平均数和方差分别为吃，，试比较丙与吃，肝与£的大小.(只需写出结论)(19)(本小题13分)己知函数/(x)=(x+-)ev,aER.X(I)求/(x)的零点； (I)当a>-5时，求证：/(X)在(l,+oo)上为增函数.(20)(本小题14分)已知椭圆C：x2+2y2=2的左右顶点分别为A,A.(I)求椭圆C的长轴长与离心率；(II)若不垂直于x轴的直线/与椭圆C相交于P,Q两点，直线人卩与4Q交于点M,直线AQ与血P交于点N.求证：直线MN垂直于兀轴. 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数学（文科）2018.59.x2=4y10.1,2巧17111.2312.◎13.3514.①②③3注：①10题、11题第一个空答对给3分，第2个空答对给2分；②14题只写出1个序号给2分，只写出2个序号给3分。三.解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题13分）解：（I）方法1：因为数列｛色｝是等差数列，所以匕+匕+2=2%+,2分因为2art+1-an=2〃+3,所以4汁2=2/2+3.4分所以，当n>3时，cin-2（n-2）+3=2n-1.所以a“=2n-=1,2,3,…）・6分方法2：设等差数列｛色｝的公差为〃,因为2an+l-an=2斤+3,2禺-a.=5所以匚r2分[2°3—°2=7. 所以aA+2d=5aA+3〃=7.所以5分[d=2.所以色=4+(/?-l)d=2n-(/?=1,2,6分(II)因为数列｛色+仇｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以7分因为=2n-l,所以bfl=2"-l-(2n-l).8分设数列｛仇｝的前几项和为S“，则S”=(1+2+4+…+2"_)—[1+3+5+…+(2n—1)]12分13分_1一2"斤(1+2斤-1)-1-22=2"-l-n2所以数列｛氏｝的前兀项和为2"-1-启・16.(本小题13分)解：(I)f(x)=2cosx(—sinx-^-cosx)+^-222=sinxcosx-V3cos2x+V32=sin(2x-—)3所以函数/(%)的最小正周期T=—=tt.T7T所以曲线y=/(x)的相邻两条对称轴的距离为一，即一.2277(II)由(I)可知f(x)=sin(2x一一)jrjrtt 当兀w[0,o]时，2x--g8分333jrn因为y=sinx在上单调递增，且/(x)在[0,刃上单调递增，22所以[—,2a—]o[—,—],9分33226T>0即<龙K11分2a——<—32解得0VGS丄龙.12分12故O的最大值为丄兀.13分1217.(本小题14分)(I)证明：折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC丄DE；所以折叠后，DE丄PF,DE丄CF,2分又PF"CF=F,PF,CFu平而PCF,所以DE丄平面PCF4分(II)因为四边形AECD为菱形,所以DC//AE,DC=AE.又点E为AB的中点，所以DC/IEB,DC=EB.所以四边形DEBC为平行四边形.所以CB//DE,6分又由(I)得，DE丄平而PCF,所以CB丄平面PCF.8分因为CBu平面PBC,所以平而PBC丄平面PCF・9分(III)存在满足条件的点M,N,且M,N分别是PD和BC的中点.10分如图，分别取PD和BC的中点M,N. 12分连接EN,PN、MF、CM•因为四边形DEBC为平行四边形，所以EF//CN,EF=-BC=CN.2所以四边形ENCF为平行四边形.所以FC//EN.在PDE中，分别为PDQE中点,所以MF//PE.又EN,PEu平而PEN,PEOEN=E,MF,CFu平而CFM,所以平面CFM//平面PEN・14分18.（本小题13分）解：（I）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93,89.5,89,88,90,88.5,91.5,91,90.5,91.其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、1（）号，共6人.1分所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是乞■二-・3分10从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.4分（II）设事件A为“从考核成绩大于等于90分的学生屮任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，5分由（I）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人.6分因此，从考核成绩大于等于90分的学生屮任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号,7号）、（1号,8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号,7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号,9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件,7分而事件4包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件,11分(III)xt=x213分19.（本小题13分） 解：（I）f（X）的定义域为（-oo,0）U（0,+oo）,1分 当ano时，方程无解，/(朗没有零点;当dv0时，得x=±J-a•综上，当ahO时/(X)无零点；当avO时，/(x)零点为±丘・(II)厂(兀)=(1_工0+(“纟)『fX2JT4*g(x)=x3+x2+ax-af(x>1)7分贝i]gx)=3x2+2x+a,8分其对称轴为x——,3所以gx)在(1,+oo)上单调递增，9分所以g'(兀)>3xl2+2xl+a=5+d,当d»-5时，gx)>0恒成立，10分所以g(jc)在(l,+oo)上为增函数.11分12分13分所以gCr)〉g(l)=2>0.所以兀>1时,fX)>0,/(兀)在(l,+oo)上单调递增.20.(本小题14分)解：(I)椭圆C的方程可化为—+y2=l,1分2所以a=近,b=l,c=1.2分所以长轴长为2a=2/2,离心率e=—=^-・4分a2(II)方法1：证明：显然直线Af、aq、4P都存在斜率，且互不相等，分别设为k,k2，W设直线£P的方程为>,=^(^+/2),A2Q的方程为y=k2(x-^2),5分 联立可得无旳=血伙厂'）.同理可得〃二忑也+kj“4-心下而去证明k、kq二一*.设P（xQ,北），则xo+2Jo2=2•10分11分所以心七七=壬=齐冷x°+j2x0-V2兀°一2-2y02同理息伦=_*・所以xN2(_2+"2%k21122kk2)>/2(^+代)■■k2-k}~XM1113分14分所以直线MTV垂直于兀轴.方法2：设直线Z方程为y=kx+m.P（兀］,开）,Q（x2,y2）.y=kx+mx2+2/=2得(1+2疋)兀$+^kmx+2m2-2=0.-4km1+2/2m2一2直线人戶方程为y二X厂（x+迈）,直线人Q方程为y二x（+>/2联立可得—〉i厂(兀+V2)=—>2(兀—V2),得（丿2Xj+5/2兀2—J2_-k=履[5+X、+72X、+72[y2(xi+V2)-x(x2->/2)]x=a/2[(x2-a/2)+y2(^+V2)] yfikg+兀2）+加（旺一兀）+2近m=41k"km+m(r一无)+242m1+2疋1272/2m=7+m(x-xj2a/211分”(r莎m)X(兀2-a/2)+>,2(x1+72)=(^+m)(x2-a/2)+(Ax2+加)(壬+V2)=2kx}x2+m(x}+冷)+y/2k(x2-x})=2卍二5半+迈kg-x)1+2/1+2疋217]+；：2+伍kg-xj12分只与直线/的方程有关.13分14分-2k所以心=—,即点M的横坐标与只Q两点的坐标无关,m-2k所以Xn=」=Xx直线MN垂直于兀轴.m