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《2018高考数学（文理通用）一轮复习：第八章立体几何（四十一）利用空间向量求空间角》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课时达标检测(四十一)利用空间向量求空间角一、全员必做题1・已知直三棱柱ABC-AXBXCVZ/CB=90°,CA=CB=CCif。为BiG的中点，求异面直线BD和4C所成角的余弦值.解：如图所示，以C为坐标原点，CAfCB,CCi所在直线分别为x轴，丿轴，z轴建立空间直角坐标系.设C4=CB=CC、=2,则4(2,0,2),C(0,0,0),3(0,2,0),0(0,1,2),ABD=(0,-1,2),紀=(一2,0,-2),cos〈BD,BDASCIBb\^C~5'・・・异面直线BD与QC所成角的余弦值为辱2・(2016大连二棋)如图，在直三棱
2、柱ABC-AXBXG中，ABA.BC,44i=2,AC=2yj2.M是CG的中点，P是的中点，点Q在线段上，且陀=如1・(2)若直线必1与平面ABM所成角的正弦值为瞬解：⑴取MC的中点，记为点0,连接"，QD.TP为的中点，。为MC的中点，:.PD//AC.又CD—~^DCfBQ=)QC,:.QD//BC.又PDCQD=D,・•・平面PQD//平面ABC.又PQU平面PQD,:・PQ〃平奋ABC.,求ABAC的大小.⑵•:BC,BA,〃血两两互相垂直，・••以B为坐标原点，分别以BC,BA9BBi所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系
3、B-xyzf设BC=u,BA=b,则各点的坐标分别为5(0,0,0),C(a,0,0),/(0,00),^,(0,b,2),M(a,0,l),ABAX=(0,b,2),BA=(0,b,0),BM={a^BA=0,设平面ABM的法向量为n=(x,y9z),则f[nBM=0,如=0,ax+z=0,取x=l,则可得平面ABM的一个法向量为«=(1,0,~a)9旳〉「百丄总+厂噜又/+方2=8,・・./+4/—12=0,:.a2=2或一6(舍)，即a=y/2.：.sinZBAC=:.ZBAC=^.3•如图，在四棱锥P-ABCD中，刃丄平面ABCDfZABC
4、=9Q°,△ABC^/ADCfPA=AC=2AB=2fE是线段PC的中点.⑴求证：〃平面/MB；(2)求二面角D・CP・B的余弦值.解：⑴证明：以B为坐标原点，所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.,01,力(1,0,0),£
5、j,则〃(0,0,0),C(0,晶0),P(l,0,2),磴,当・・・DE=(-1,0,1),BP=(1,0,2),BA=(1,0,0)・设平面刃〃的法向量为n=(afbyc),ivBP=0,[«+2c=0,则$••界Ur茹=0,=(0,1,0)为平面PAB的
6、一个法向量.又DEn=0,DEQ平丙R4B,:.DE〃平面PAB.(2)由(1)易知^C=(0,诵，0),DP=f-
7、,¥,2)DC=(-汽,o),设平面PBC的法向量为％=(xi,ji,zi),nrBP=0,则］_.jirBC=0,Jxi+2zi=0,l価i=0,令xi=2,则jj=0,zi=—1,•••%=(2,0,—1)为平面PBC的一个法向量.设平面DPC的法向量为n2=(x2ty2fZi),n2'DP=0,Hi'DC=0,令X2=l,则丿2=逅，Z2=l,・・・〃2=(1,诵，1)为平面DPC的一个法向量.・/、2—11•-C0S血〉-屁聽-
8、引故二面角D-CP-B的余弦值为£・二、重点选做题1•如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,平面力PQ丄平面ABCD,P4=PD,E在力。上，S.AB=BC=CD=DE=EA=2.(1)求证：平面PEC丄平面PBD；(2)设直线PB与平面PEC所成的角为务求平面APB与平面PEC所成的锐二面角的余弦值.解：⑴证明：连接BE在△P4D中，PA=PD9AE=ED9所以PE丄AD.又平面/PD丄平面ABCD9平面/PDQ平面ABCD=AD9所以PE丄平面ABCD,又BDU平面ABCD,农PE1BD.在四边形ABCD中，BC//DE,且BC=DE,所以四
9、边形BCDE为平行四边形，又BC=CD,所以四边形BCDE为菱形,故BD丄CE,又PECEC=Ef所以丄平面PEC,又〃DU平面PBD,所以平面PEC丄平面PBD.⑵取BC的中点F,连接EF.由(1)可知，是一个正三角形，所以丄BC,又BC//AD,所以丄/0・又PE丄平面ABCD,故以E为坐标原点，分别以直线£尸、直线£0、直线EP为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系•设朋=/(/>0),则0(0,2,0),/(U,-2,0),P(0,0,/),F(y[3f0,0),〃(伍-1,0).因为〃。丄平面PEC,所以丽=(一羽，3,0)是平面
10、PEC的一个法向量，又西=(萌，-1,一『)，所以cos=逻・砂=—6告.PB
