2017年高考数学考点解读+命题热点突破专题06函数与方程﹑函数模型及其应用理

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1、函数与方程、函数模型及其应用【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是2016高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与/轴的交点的横朋标的等价性;掌握零点存在性定理.增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力.【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1.零点存在性定理如果函数y=tx)在区间［日，方］上的图象是连续不断的一条曲线,且有f{a)•AA)<0,那么，函数y=tx)在区间Q内有零点，即存在c",①使得f(Q)=0,这个c也就是方

2、程代0=0的根.2.函数的零点与方程根的关系函数F{x)=fx)—g{x)的零点就是方程fx)=g{x)的根，即函数尸代¥)的图彖与函数y=g{x)的图象•交点的横坐标.log2x,x>0,例1、⑴己知偶函数y=f(x),xeR满足f(x)=x2—3x(x>0),函数g(x)="1贝U函数y=f(x)—一，x<0,x-g(x)的零点个数为()A.1B.33X,(2)已知函数f(x)=l2C.2D.4］'若存在实数b,使函数g(x)=f(x)—b有两个零点，则a的取值范围是x〉a,【答案】(1)B(2)(一8,0)U(1,+8)【解析】(1)

3、作出函数f(x)与g(X)的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y=f(x)—g(x)有3个零点.(2)令(1)(x)=x"(xWa),h(x)=x2(x>a),函数g(x)=f(x)—b有两个零点，即函数y=f(x)的图像与直线y=b有两个交点.结合图像，当吋，存在实数b使h(x)=x2(x>a)的图像与直线y=b有两个交点；当时，必须满足G(a)>h(a),即a3>a2,解得a>l.综上得aG(—8,0)U(1,【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结介法是解决函数零点、方程根的分布、零点

4、个数、方程根的个数问题的冇效方法.在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来.【变式探究】已知函数f(x)=

5、x+a

6、(a£R)在[―1,1]上的最大值为M(a),贝!J函数g(x)=M(x)—

7、x2—1的零点的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】当(-厂-a)时，函数f(x)单调递减，当xE(-a,4-x)时，函数f(x)单调递増,所以x=-a为f(x)的最小值点，所以当左0时，M(a)=f(l)=l+a=l+a,当xO时，M(a)=f11—xxwO.(—1)=—

8、l+a=—(—14-a)=1—所以XI(x)='J在同一坐标系中画出(x)和l」+x>总O.y=x：-l的图像〉如图所示，可知两个函数图像有3个不同的公共点，所以函数g(x)有3个零点.【探究提肓】在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，耍学会学握转化与化归思想的运用.•如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的笫一反应就是转化己知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解.【命题热点突破二】与函数有关的新定义问题‘1,x>0,例2、已知符号函数sgnx=<0,x=0,f(x)是R上的增函数，g(

9、x)=f(x)—f(ax)(a>l),贝U()、一1,x<0.A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=—sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]A.sgn[g(x)]=—sgn[f(x)]【答案】B【解析】不妨令f(x)=x+l,a=2,则g(x)=f(x)—f(2x)=—x,故sgn[g(x)]=sgn(—x),排除A；sgn[f(x)]=sgn(x+1)Hsgn[g(x)],又sgn[g(x)]H—sgn[f(x)],所以排除C,D.故选B.【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问

10、题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们己经掌握的数学问题，然后根据题目的耍求进行推理计算得出结论.【变式探究】给出定义:如果函数f(x)在［a,b］上存在xi,x2(a

11、在满足f(xi)=f(x2)=—因为f(x)=x：-2x,所以方程x：-2x=^n:-m在(0,m)上有两个不同的根•令g(x)=x：[AX),,、-