2016届《步步高》高考数学大一轮总复习 第1讲 平面向量的概念及其线性运算

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1、第1讲平面向量的概念及其线性运算一、选择题1.已知两个非零向量a，b满足

2、a+b

3、=

4、ab

5、，则下面结论正确的是（）A.a∥bB.a⊥bC.{0,1,3}D.a+b=ab答案B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案　A3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)．A.＝B.＝2C.＝3D．2＝解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.答

6、案　A4．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是(　　)．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上解析　若A成立，则λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．答案　D

7、5．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的(　　)．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析　设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案　B6．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)．A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析　由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.∴∥，又与不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案　C二

8、、填空题7．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ.即∴p＝－1.答案　－18.如图，在矩形ABCD中，

9、

10、＝1，

11、

12、＝2，设＝a，＝b，＝c，则

13、a＋b＋c

14、＝________.解析　根据向量的三角形法则有

15、a＋b＋c

16、＝

17、＋＋

18、＝

19、＋＋

20、＝

21、＋

22、＝2

23、

24、＝4.答案　49．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足

25、－

26、＝

27、＋－2

28、，则△ABC的形状为________．解析　＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴

29、＋

30、＝

31、－

32、.故A，B，

33、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案　直角三角形10．若M为△ABC内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．解析由题知B、M、C三点共线，设＝λ，则：－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ，∴λ＝，∴＝.答案三、解答题11．如图所示，△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，，，.解　＝b，＝b－a，＝(b－a)，＝(b－a)，＝(a＋b)，＝(a＋b)．12．(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，

34、D三点共线．(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．(1)证明　因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，所以＝＋＝10e1＋15e2.又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即∥，又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解　D＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则∥D，设D＝λ，所以⇒k＝－8.13．如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延

35、长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．解　∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，又∵＝，∴＋λ＝，即λ＝，∴λ＝.14．已知O，A，B三点不共线，且＝m＋n，(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明　(1)m，n∈R，且m＋n＝1，∴＝m＋n＝m＋(1－m)，即－＝m(－)．∴＝m，而≠0，且m∈R.故与共线，又，有公共点B.∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．即＝λ＋(1－λ