第 1 讲 平面向量的概念及其线性运算.ppt

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1、第1讲平面向量的概念及其线性运算1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义,理解向量的几何表示.3.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义,掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意基础自查1.向量的有关概念名　称定　义备　注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或模)零向量长度为的向量，其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量0的相反向量相

2、反向量长度且方向的向量大小方向长度01个单位相反平行相等相同相等相反相同平行2.向量的线性运算三角形法则向量运算定　义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算四边形法则则(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝,减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、(2)当λ＞0时，λa与a的方向;当λ＜0时，λa与a的方向;当λ＝0时，λa＝.λ(μa)＝；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝.b＋aa＋(b＋c)相同相反(λμ)aλa＋

9、μaλa＋λb03.向量共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得.联动思考议一议：以a，b为邻边的平行四边形中，若

10、a＋b

11、＝

12、a－b

13、，则此四边形为什么样的四边形？答案：如图，说明平行四边形两条对角线长度相等，故四边形是矩形.b＝λa联动体验1.下列命题正确的是()A.零向量是唯一没有方向的向量B.平面内的单位向量有且仅有一个C.a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D.相等的向量必是共线向量解析：向量是既有大小又有方向的量，所以零向量必有方向，又规定零向量与任

14、一向量平行，所以零向量是唯一的一个方向不确定的向量.故A错误；对平面内的任一向量a而言，由于＝1，所以即是一个单位向量，由a的任意性，可知B错误；共线向量即平行向量，包括方向相同或方向相反的非零向量及零向量，故C错误；由于相等向量即长度相等且方向相同的向量，故D正确.答案：D2.下面命题中的真命题是()A.若

15、a

16、＞

17、b

18、，则a＞bB.若

19、a

20、＝

21、b

22、，则a＝bC.若a＝b，则a与b共线D.若a≠b，则a一定不与b共线答案：C3.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则()答案：A5.已知

23、a

24、＝

25、3，

26、b

27、＝5，且a＝λb，则实数λ的值是.解析：当a与b同向时，λ＞0，∴λ＝，当a与b反向时，λ＜0，∴λ＝－.答案：±考向一　平面向量的有关概念【例1】给出下列五个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若

28、a

29、＝

30、b

31、，则a＝b；④若m＝n，n＝p，则m＝p；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中不正确的个数是()A.2B.3C.4D.5解析：两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；

32、a

33、＝

34、b

35、，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②

36、不正确；③、④正确；零向量与任一非零向量都平行当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确.答案：B反思感悟：善于总结，养成习惯搞清楚向量的概念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共线向量等内容，也为后面打好基础.答案：B考向二　平面向量的线性运算反思感悟：善于总结，养成习惯在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.答案：重考向三　向量的共线问题【例3】设两个非零

37、向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．反思感悟：善于总结，养成习惯1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．单击此处进入限时规范训练