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1、第5章拟凹规划与比较静态分析5.1Kuhn—Tucker问题5.2最优化问题的变形5.3比较静态分析5.4单调比较静态分析5.5对偶原理•本章解决参数约束最优化问题max/(x,0)(5.1)xeD(O)余下的两个问题：1.求解方法：如何求出问题(5.1)的解？2.比较静态分析：参数0G0发生变化时，解集/()和值函数X)如何随0变化？•拟凹规划问题■约束函数：(拟)凸■目标函数：(伪)凹5.1KuhnTucker问题5.1.1基本概念5]2Kuhn-Tucker定理5.1.3最优解的充分条件5.1.1基本概念•问题(5.2)max/(x,8)X€“s
2、.t.gw(x,0)<0,m-1,...,A7■约束集D((J)非空■经济学中还经常包括♦等式约束gn，(x,0)=0♦非负约束x$0(等价于N瓯0)。•基木概念■约束是紧的(binding)«g气x,0)=():■约束是松的(binding)<=>gw(x,6)<0：■B(x)ox处紧的约束集■点x处约束限制(constraintqualification)成立o{Vg'"(x,E)pnwB(x)}中的向量线性无关5.1.2Kuhn一Tucker定理•Kuhn-Tucker定理■设问题(5.2)满足i./(x,0),gi(x,B),...,g"(x,
3、E)连续可微;ii.r>(0)非空iii.x*是问题的解iv.在点/处约束限制成立。则可得Kuhn-Tucker条件：1.Lagrange条件：心no,Vf(xe)=£L4^m(x,o)o2.互补松弛条件(complementaryslacknessconditions):&0(5=0•单一约束情形下的Kuhn-Tucker定理■在约束是紧的但非最优点牡沿着Vg(x)的垂线向点4进行微小的变动将使函数值增加。■在点/处沿着约束线的任意可行的变动都不会改变目标函数值。图5.1单一约束下的Kuhn-Tucker定理•为什么紧的约束乘子必须是非负的?■如果
4、乘子为负，向约束集内部的移动使约束变松，从而会增加函数值。©1图5.2为什么兀是非负的•如果不满足约束限制，Kuhn-Tucker定理会失效■图屮的T是问题的解，但无法将号(X)表示成Vg】(x)和Vg2(x)的线性组合。•hiO图"3为什么需要约束规范5.1.3最优解的充分条件•Kuhn-Tucker条件是x作为解的必要但非充分条件。■图5.4中的x满足Kuhn-Tucker条件，但它不是问题(5.2)的解;而点£和T则都是。•为检验二阶条件或充分条件，需耍计算(加边)海赛矩阵并11检验负半定性，这是一件痛苦的事情！•对多数经济问题，定理5.2能有效
5、解决这一问题:•定理5.2充分条件假设问题(5.2)满足Kuhn-Tucker定理的条件，并且：(i)/(,0)伪凹；(ii)gm(,0),加=1,・・・,M都是拟凸的则满足Kuhn-Tucker条件的所有x都是问题的解。•经济理论中的多数最优化模型能满足定理的条件■伪凹性♦不稳定的拟凹性o伪凹性♦凹性=>伪凹性♦严格拟凹性n伪凹性•问题(5.2)的惟一解。•定理5.3假设T是问题(5.2)的最优解，如果■/(,0)严格拟凹■约束函数gn,0)拟凸,则/是问题(5.2)的惟一解。5.2最优化问题的变形521非负约束5.2.2等式约束523最优化问题的
6、简化5.2.1非负约束：xE0•问题：max/(x,0)耀?(5.3)s.t.gm(x,0)7、=
8、则最优性条件为Ljx,0,Z)<0,x；>0,,0,Z)=0,71=1,2,...,NgM(x*,0)<0,4>o,4gm(x*,e)=o,AH=1,2,…
9、,Mmaxlogx}+log(x2+5)s.t.壬+x,—45()(5.5)%!>0,x2>0(i)冃标函数是两个对数Z和：凹(ii)约束函数是线性的:凸。问题(5.5)是凸的，因而可以应用定理5.4。•等式约束+非负约束问题：毀心)+(5.6)s.t.g气x,0)=0,m=1,...,Af•定理5.5假设问题(5.6)满足：(i).f(,0),gi(,0),...,g”(，0)连续可微(ii)D(e)非空(iii)x+是问题的解(W)在点/处约束限制满足(包括所有的非负约束)。则最优性条件为L(x*,e,X*)<0,/>0,xL(X*,O，D=O,n
10、=,...,NX”flfl兀歼(5.7)maxw(x)s.t.p1x=m5.2.2等式约束•
