《金版学案》数学理一轮练习：6.4基本不等式含解析

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1、第四节基本不等式【最新考纲】1・了解基本不等式的证明过程・2•会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.自实念—基I©

2、基础梳理1.基本不等式佰W学(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0・(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立.oh(3)其中丁称为正数a,b的算术平均数,価称为正数a,b的几何平均数.2.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为耳£几何平均数为剧,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.利用基本不等式求最大、最小值问题⑴如果x,yW（O,+°°）,且xy=P（定值）.那么当x=y时,x+y有最小值2护・(简记：“积

3、定和最小”)（2）如果x,ye（o,+oo）,且x+y=S（定值）.=J那么当x=y时，xy有最大值罟・（简记：“和定积最大”1.几个重要的不等式(1)a2+b2^2ab(a,beR).(2)^+

4、^2(a,b同号).(a+b)2⑶abW(a,bWR)・©I学情自测1.（质疑夯基）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的⑴函数y=x+Z的最小值是2.（A4[JT](2)函数f(x)=cosx+高匸，xelo,的最小值等于4.(（3）x>0,y>0是：+十$2的充要条件.（）⑷若a>0,则a3+A的最小值为2诵・（）d答案：⑴X（2）X⑶X⑷X2.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的

5、最大值为（）A.80B.77C・81D・82解析：=萝)=81,当且仅当x=y=9时等号成立.答案：c3.若亦beR,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是()A・a2+b2>2abB・a+b$2価^1,12,a—C.-+r>~rvD.—+匸M2abyjabab解析:Va2+b2-2ab=(a-b)2^0,AA错误.对于B,C当a<0,bvO时，明显错误.对于D,Vab>0,.」+診2、巴1=2.abJab答案：D4.(2015-福建卷)若直线寸+*=l(a>0,b>0)过点(1,1),贝lja+b的最小值等于(A・2B・3C・4D・5解析：因为直线中+*=l(a>0,b>0)过点(1,1

6、),所以

7、+^=1,所以a+b=(a+b)右+*=2+¥+¥$2+2•^=4(当且仅当a=b=2时取等号).答案：C1.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,则这个矩形的长为m,宽为m时菜园面积最大.解析：设矩形的长为xm,宽为ym・则x+2y=30,所以S=xy=

8、x・（2y）W竺尹2=竽，当且仅当x=2y,即x=15,y=字时取等号.答案：15¥［名师微博•通法领悟｝—种方法基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就

9、可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.两个变形基本不等式的变形^ab（a,beR,当且仅当a=b时取等号）;2./aJ苗2〔（a〉。,b>0,当且仅当a=b时a+b取等号）.三点注意1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3.多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.分层集训I单独成册爲扁I珈器•高效提能I已知x>—1,则函数y的最小值为(B.0C・1D・2解析：由于x>—1

10、,则x+l>0,所以y=x+击=(x+l)+-1^2yj(x+1)•土7一1=1，当且仅当x+l=土j,由于x>—1,即当x=0时，上式取等号.答案:c(a+b‘2.(2015-陕西卷)设f(x)=lnx,0

11、(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A-q=rpB-p=rqa—bf—解析：因为b>a>0,故巧一>V忑•又f(x)=lnx(x>0)为增函数，所以f^y^j>f(-/ab),即q>p.又r=j(f(a)4-f(b))=

12、(lna+lnb)=lnV^=P・答案:B3.设a>0,b>0•若诵是3*与

13、3?b的等比中项，贝吟+*的最小值4B.1-4D解析：由题意可知3=3a•32b=3a+2b,即a+2b=l.21/21、a4h因为a>0,b>0,所以-+^=

14、j+^J(a4-2b)=^+y+4^2寸半・乎+4=8,当且仅当；=乎，即a=2b=

15、时取"=".答案：A1.(2016郑州外国语学校月考)若a>b>l,P=^lga-lgb,Q=

16、(lga+lgb),R=lg件E),贝!1()A・R