2017_2018学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式本讲知识归纳与达标验收同步配套.

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1、第四讲用数学归纳法证明不等式【本讲知识归纳与达标验收】対应学生用书P45考情分析通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性.数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前儿项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察一归纳一猜想一证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的.真题体验1.(安

2、徽高考)数列｛〃｝满足山=0,^+1=—Xn+Xn+c.(1)证明：｛/｝是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求c的取值范围，使｛弘｝是递增数列.解:(1)先证充分性，若C<0,由于Xr+1=—Xn+X,>+Xn+C

3、1—寸7—几>0,即Xn<1—y[c.由②式和局20还可得，对任意/2>1都有£一X小W(1—y[c)(y[c~.③反复运用③式，得xW仃一y[c)111(yfc—xd<(1—讥)"一〔Xn<1—y[c^y[c—xn<(1~y[c)"一】两式相力11,知2yj~c—1<(1~y[c)1对任意心1成立.根据指数函数y=S的性质，得2讥一1W0,cW*故00.即证屁<讥对任意心1成立.下而用数学归纳法证明当时，讥对任意刀21成立.⑴当72=1时，m=OV讥W*

4、,结论成立.(2)假设当n=k(kWNd时结论成立，即：xkXnf即｛/｝是递增数列.由(i)(ii)知，使得数列｛/｝单调递增的c的范围是(o,+.qinx1.(江苏高考)已知函数办3=~~30),设力3为的导数，X⑴求的值;(2)证明:对任意的用『都成立.cosxsinxt解：由已知，得fi(x)=f0(方=sinx于是丘3

5、=fi(^)=cosxsinx2cosx.2sinx所以£x2^16jiji2ji

6、立，即kfk-{x)+xfk{x)=sinl^+_因为［kfk-{x)+xfk^x)}9=kff+fk{x)+xf斤3=(&+1)力(方十M+i3,sinx+(I&兀=cos^+—=sinx-a4«+l兀__2所以(A+l)fk{x)+xfM{x)=sik+1JI2因此当n=k+1时，等式也成立.(/?JI综合①②可知等式nfn-{x)+xfn^x)=sinl^r+—对所有的圧N邯成立.兀+Ts£+号)(/7勿)・所以应L(寸j对应学生用书P45希点一归纳一猜想一证明不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明

7、，因而数学中我们常用归纳一一猜想一一证明的方法來解决与正整数有关的归纳型和存在型问题.[例1]己知数列&｝的第一项0=5且5-1=禺(心2,〃WN+),(1)求型，昂，越,并由此猜想厶的表达式;(2)用数学归纳法证明｛&｝的通项公式.[W](1)型=$=0=5,&〕=$=&+型=10,越=$=日1+曰2+日3=5+5+10=20,猜想^=5X2'q_2(/?J：2,/?GN十).(2)①当〃=2时，0=5X22—2=5,公式成立.②假设n=k时成立，即越=5X21(^22.圧N-),当n=k+1吋，由已知条件和假设有Hk+1=Sk=&+

8、型dk=5+5+10+・・・+5X2i=5+1-2X~11—2=5X2「〃=1,心2.数学归纳法的应用故n=k+Y时公式也成立.由①②可知，对刀22,刀GN卜有&=5X2心.5,所以数列&｝的通项5X2归纳