《三角恒等变换》教学案

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1、《三角恒等变换》教学案第1课时　两角和与差的余弦　教学过程一、问题情境[1]在实数运算中，有公式a(b+c)=ab+ac；在向量运算中，有公式a·(b+c)=a·b+a·c；在三角运算中，有公式cos(α-β)=cosα-cosβ吗？如果没有，式子一定不成立吗？二、数学建构问题1　在直角坐标系xOy中，以Ox为始边分别作角α，β(0≤β≤α≤π)，其终边分别与单位圆交于P1，P2，则向量，的夹角是多少？·的值是多少？[2](图1)由图1可得向量，的夹角是α-β，=(cosα，sinα)，=(cosβ，sinβ).一

2、方面，由向量数量积的定义，有·=

3、

4、·

5、

6、cos(α-β)=cos(α-β).另一方面，由向量数量积的坐标表示，有·=cosαcosβ+sinαsinβ.从而cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，0≤β≤α≤π.问题2　如果α，β∈R，上述公式还成立吗？[3]当α-β∈[0，π]时，α-β就是，的夹角，所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.对于任意的α，β，总可选适当的整数k，使α-β-2kπ∈[-π，π).记β1=β+2kπ，则β1与β的终边相同，且α-β1∈[-π，π)，从而

7、

8、α-β1

9、≤π，

10、α-β1

11、就是，的夹角.因此cos(

12、α-β1

13、)=cos(α-β1)=cos(α-β-2kπ)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.综上，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，这就是两角差的余弦公式，记为C(α-β).问题3　cos(β-α)的展开式是什么？它与cos(α-β)展开式相等吗？为什么？cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ，它们展开式相等.因为余弦函数是偶函数，所以cos(α-β)=cos(β-α).问题4　能利用两角差的余弦公式求

14、cos(α+β)吗？[4]在两角差的余弦公式中，用-β代替β，就可以得到cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，这就是两角和的余弦公式，记为C(α+β).思考　“用-β代替β”的换元方法体现在图形上有什么几何意义？能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？用“-β代替β”的几何意义就是作出角β关于x轴的对称图形.(一)公式理解1.结构特征:①左边是两角差的余弦，右边是同名积的和；②左边是两角和的余弦，右边是同名积的差.2.公式中的α，β可以是任意的角(或式子).3.当α，β中有一个是90°的整数倍

15、时，用诱导公式比较简便.(二)巩固概念问题5请利用两角和(差)的余弦公式证明cos=sinα.[5]cos=coscosα+sinsinα=sinα.三、数学运用【例1】利用两角和(差)的余弦公式，求cos75°，cos15°，sin15°，tan15°.[6][处理建议]　引导学生将75°，15°转化为两个特殊角的和或差，正弦需转化为余弦.[规范板书]　解　(1)方法1:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.方法2:cos75°=cos(120°-45°)=

16、cos120°cos45°+sin120°sin45°=.(2)方法1:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.方法2:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=.(3)sin15°=cos(90°-75°)=cos75°=.(4)tan15°===2-.[题后反思]　(1)两角差(和)的余弦公式也适用于形式上不是差(和)角，但可以拆分成两角差(和)的情形；(2)角的拆分可能有多种形式，要根据题目选择适当的拆分.

17、变式　化简cos+cos.[规范板书]　解　原式=coscosα-sinsinα+coscosα+sinsinα=cosα.【例2】　不查表，求下列式子的值:(1)cos120°cos15°-sin120°sin15°；(2)cos58°sin77°+sin122°sin13°.[处理建议]　本例是逆用两角和(差)的余弦公式求值，要引导学生构造公式中的结构.[规范板书]　解　(1)原式=cos(120°+15°)=cos135°=-.(2)原式=cos58°cos13°+sin58°sin13°=cos(58°-1

18、3°)=.变式　不查表，求cos215°-sin215°的值.[规范板书]　解　cos215°-sin215°=cos(15°+15°)=.[题后反思]　只有式子结构与公式结构完全相同时才能逆用公式，否则需对式子进行变形.【例3】已知sinα=，α∈，cosβ=-，β∈，求cos(α+β)的值.　[处理建议]　由公式C(α+β)可知，欲求cos(α+β)，应