高维数据点的曲线曲面拟合

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1、2004年工程图学学报2004第1期JOURNALOFENGINEERINGGRAPHICSNo.1基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合曾清红卢德唐中国科学技术大学力学和机械工程系合肥230027摘要建立了一种基于移动最小二乘(MovingLeast-SquaresMLS)法的曲线曲面拟合方法这种方法对传统的最小二乘(LS)法的作了比较大的改进使生成的曲线曲面具有精度高光滑性好等许多优点详细介绍了移动最小二乘法的原理应用和特点并且给出了使用移动最小二乘法进行曲线曲面拟合的程序设计流程最后给出了曲线拟合和空间散乱数据曲面拟合算例将拟合结果与

2、最小二乘拟合结果作了比较分析了MLS拟合曲线曲面的光滑性和拟合质量表明了该方法的优越性和有效性关键词计算机应用移动最小二乘法曲线曲面拟合权函数中图分类号TP391文献标识码A文章编号1003-0158(2004)01-0084-06[4]曲线曲面拟合是一种古老而常用的技术在工Belytschko将其应用于无网格方法中移动最小程实验统计和计算机图形等方面有着广泛的应二乘法与传统的最小二乘法相比有两个比较大的用通常经过测量或者采集可以得到一组离散数改进据点(xi,yi),i=1,2,,n这里xi为坐标值由于这1拟合函数的建立不同这种方法建

3、立拟些数据点并非完全精确而且函数y=f(x)的表达式合函数不是采用传统的多项式或其它函数而是由预先无法知道需要在给定的函数类f上根据这些一个系数向量a(x)和基函数p(x)构成这里a(x)不离散数据作出逼近曲线(曲面)因为离散数据有误是常数而是坐标x的函数差并不要求逼近曲线(曲面)经过数据点而只是2引入紧支CompactSupport概念认要求逼近曲线(曲面)f(x)的误差的某个指标达到最为点x处的值y只受x附近子域内节点影响这个小传统的曲线(曲面)拟合方法一般使用最小二乘子域称作点x的影响区域影响区域外的节点对x[1],[2]法通过

4、使误差的平方和最小得到一个线性的取值没有影响在影响区域上定义一个权函数方程组求解线性方程组就可以得到拟合曲线(曲w(x)如果权函数在整个区域取为常数就得到传面)如果离散数据量比较大形状复杂还需要统的最小二乘法进行分段(分块)拟合和平滑化这在实际中往往带这些改进能够带来许多优点减缓或解决传统来一定的困难曲线曲面拟合过程中存在的困难可以取不同阶的笔者使用移动最小二乘(MLS)法建立一种新基函数以获得不同的精度取不同的权函数以改变的曲线(曲面)拟合方法这种方法能够克服以上困拟合曲线(曲面)的光滑度这是其它拟合方法无法难并且还具有许多其它优点

5、Lancaster和做到的[3]Salkauskas最先在曲面生成中使用了MLS后来收稿日期2002-10-21基金项目国家自然科学基金资助项目10102020国家973资助项目G1999032805作者简介曾清红1978-男湖南长沙人硕士生主要研究领域为大规模科学计算及科学计算可视化第1期曾清红等基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合85k其中Ö(x)称为形函数k表示基函数的阶数1移动最小二乘法kkkkÖ(x)=[,,L,]=12n10T-11.1拟合函数的建立p(x)A(x)B(x)在拟合区域的一个局部子域上拟合函数f(x)如果k=0则

6、基函数px()={1}这时的形函数表示为为Shepard函数mTShepardw(x-xI)f(x)=åai(x)pi(x)=p(x)a(x)1ÖI(x)=n11i=1åw(x=x)J=1JT式中a(x)=[a(x),a(x),L,a(x)]为12m需要注意的是即使基函数p(x)为多项式式待求系数它是坐标x的函数9中的f(x)也不再是多项式如果基函数Tp(x)=[p1(x),p2(x),L,pm(x)]称为基函数它pÎCr权函数wCÎs则拟合函数是一个k阶完备的多项式m是基函数的项数例min()rs,fCÎ如对于二维问题T1.2权函数

7、线性基p(x)=[1,x,y],m=32a22T权函数在移动最小二乘法中起着非常重要的二次基p(x)=[1,x,y,x,xy,y],m=6作用移动最小二乘法中的权函数w(x-xI)应该具2b考虑下面的加权离散L2范式(向量有紧支性也就是权函数在x的一个子域内不等于12/零在这个子域之外全为零这个子域称为权函数æön2x=[x1,x2L,xn]的L2范式x2=ç÷ç÷åi1xi)èø=的支持域(即x的影响区域)一般选择圆形作为权n函数的支持域(见图1)其半径记为s由于权2maxJ=åw(x-xI)[f(x)-yI]=函数的紧支性只有这些

8、包含在影响区域内的数据I=13n点对点x的取值有影响T2åw(x-xI)[p(xI)a(x)-yI]权函数w(x-xI)应该是非负的并且随着I=1x-x的增加单调递减权函数还应具有一定式中n是影响区域内节点的数目f()x