立体几何-天津文科高考专题

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1、文科立体几何2003年（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点P为BD1中点.（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离.2004年（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，是PC的中点。（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。142005年（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（Ⅰ）求与底面ABC所成的角（Ⅱ）证明∥平面（Ⅲ）求经过四点的球的体积

2、2006年（本题满分12分）如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．（Ⅰ）证明//平面；（Ⅱ）设，证明平面．142007年（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小．2008年（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小．2009年（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，平分14，为的中点，（1）证明：平面（2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值2010年（本小题满分12分

3、）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。142011年（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．2012年（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求异面直线PA

4、与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。142013年（本小题共14分）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，。和分别是和的中点，求证：（Ⅰ）底面；（Ⅱ）平面；（Ⅲ）平面平面。14文科立体几何答案2003年（1）证法一：取BD中点M.连结MC，FM.∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D.又ECCC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1.又CM⊥面DBD1.∴EF⊥面DBD1.∵BD1面DBD1.∴EF⊥BD1.故EF为BD1与CC1的公垂线.证法二：建立如图的坐标系

5、，得B（0，1，0），D1（1，0，2），F（，，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.即EF⊥CC1，EF⊥BD1.故EF是为BD1与CC1的公垂线.（Ⅱ）解：连结ED1，有VE－DBD1=VD1－DBE.由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d.故点D1到平面DBE的距离为.2004年方法一：（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO∵底面ABCD是正方形∴点O是AC的中点。在中，EO是中位线∴14而平面EDB且平面，所以，平面EDB。（2）解：作交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为。∵底面ABCD∴∴F为DC的中

6、点∴底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中，∵∴在中所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设（1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得，，∵底面ABCD是正方形∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为∴∴这表明而平面且平面EDB∴平面EDB（2）解：依题意得，取DC的中点连结EF，BF∵，，∴，∴，∴底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中，，∴14所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。20

7、05年解：（Ⅰ）过作平面，垂足为．连结，并延长交于，于是为与底面所成的角．∵，∴为的平分线．又∵，∴，且为的中点．因此，由三垂线定理．∵，且，∴．于是为二面角的平面角，即．由于四边形为平行四边形，得．（Ⅱ）证明：设与的交点为，则点为的中点．连结．在平行四边形中，因为的中点，故．而平面，平面，所以平面．（Ⅲ）连结．在和中，由于，，，则≌，故．由已知得．又∵平面，∴为的外心．14设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线．在中，．故所求球的半径，球的体积．2006年（I）证明：取CD中点M，连结OM.∥=∥=∥=在矩形ABCD中，OMBC，又EFBC，则EFO

8、M，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.∴FO∥EM.又平面CDE，且EM