高考文科立体几何证明专题

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1、立体几何专题1．如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．(1)证明：//平面；(2)证明：平面；(3)当时，求三棱锥的体积．【解析】（1）在等边三角形中，,在折叠后的三棱锥中也成立，,平面，平面，平面；（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.在三棱锥中，，②；（3）由（1）可知，结合（2）可得.【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.112．如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,A

2、BCD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高．（1）证明：PH平面ABCD；（2）若PH=1，AD=,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；（3）证明：EF平面PAB．解：(1)(2):过B点做BG；连接HB,取HB中点M，连接EM，则EM是的中位线即EM为三棱锥底面上的高=11（3）：取AB中点N，PA中点Q，连接EN，FN，EQ，DQ3、如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；（Ⅱ

3、）求证：平面ABC⊥平面APC；（Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．114、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，其棱长为2，O是底ABCD对角线的交点。求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1。（3）若M是CC1的中点，求证：平面AB1D1⊥平面MB1D1M5.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E、F分别是AB、PD的中点.(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求四面体PEFC的体积.116.如图，已知在三棱柱AB

4、C－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.(1)求证：平面PCC1⊥平面MNQ；(2)求证：PC1∥平面MNQ.7.如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点.（1）求证：//平面；（2）求证：118.右图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，平面，，且=2.（1）画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥B－CEPD的体积；（3）求证：平面．9.如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．（1）求证：；（2）求证：；；（3）求三棱锥的

5、体积．113、解：（Ⅰ）由已知得，是ABP的中位线……………2分……………4分（Ⅱ）为正三角形，D为PB的中点，，…………………5分…………………6分又……………………7分又………………9分平面ABC⊥平面APC………………10分（Ⅲ）∵，是三棱锥M—DBC的高，且MD＝…11分又在直角三角形PCB中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝………12分于是＝，………………………………………………13分＝…………………………14分4、证明：（1）连结，设连结，是正方体是平行四边形且又分别是的中点，且是平行四边形面，面11面……

6、…………………………………5分（2）面又，同理可证，又面………………………………………9分（3）设B1D1的中点为N,则AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,则（也可以通过定义证明二面角是直二面角）………14分5、.解：(1)证明：设G为PC的中点，连结FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FGCD，AECD∴FGAE，∴AF∥GE∵GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PCE；(2)证明：∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD

7、，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE⊂平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；11(3)由(2)知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG＝AF＝，GF＝CD＝，S△PCF＝PD·GF＝2.得四面体PEFC的体积V＝S△PCF·EG＝.6、证明：(1)∵AC＝BC，P为AB的中点，∴AB⊥PC，又CC1∥AA1，AA1⊥平面ABC，∴CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AB，又∵CC1∩PC＝C，∴AB⊥平面PCC1，由题

8、意知MN∥AB，故MN⊥平面PCC1，MN在平面MNQ内，∴平面PCC1⊥平面MNQ.(2)连接AC1、BC1，∵BC1∥NQ，AB∥MN，又BC1∩AB＝B，∴平面ABC1∥平面MNQ，∵PC1在平面ABC1内，∴PC1∥平面MNQ.解：(1)证明：连接AF，则AF＝2，DF＝2，又AD＝4，∴DF2＋AF2＝AD