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《2014年高考数学真题分类汇编 6.4 数列求和、数列的综合应用 理 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§6.4数列求和、数列的综合应用考点一 数列求和1.(2014山东,19,12分a)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.解析 (1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,Tn=-+…+-=1
2、-=.当n为奇数时,Tn=-+…-+++=1+=.所以Tn=考点二 数列的综合应用2.(2014江西,17,12分)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式;(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.解析 (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以-=2,即cn+1-cn=2.所以数列{cn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故cn=2n-1.(2)由
3、bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是数列{an}的前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.3.(2014四川,19,12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).3(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)
4、的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.解析 (1)由已知,b7=,b8==4b7,有=4×=.解得d=a8-a7=2.所以,Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-=(ln2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意,a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n.所以Tn=+++…++,2Tn=+++…+.
5、因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.所以,Tn=.4.(2014浙江,19,14分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=((n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求an与bn;(2)设cn=-(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.解析 (1)由题意a1a2a3…an=(,b3-b2=6,知a3=(=8.又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列{an}的通项为an=2n(n∈N*)
6、,所以,a1a2a3…an==()n(n+1).故数列{bn}的通项为bn=n(n+1)(n∈N*).(2)(i)由(1)知cn=-=-(n∈N*),所以Sn=-(n∈N*).(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;当n≥5时,cn=,而-=>0,得≤<1,所以,当n≥5时,cn<0.综上,对任意n∈N*,恒有S4≥Sn,故k=4.5.(2014湖北,18,12分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;3(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存
7、在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,Sn==2n2.令2n2>60n+8
8、00,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.6.(2014湖南,20,13分)已知数列{an}满足a1=1,
9、an+1-an
10、=pn,n∈N*.(1
