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1、§6.4数列求和、数列的综合应用高考理数(课标专用)A组 统一命题·课标卷题组考点一 数列求和1.(2017课标Ⅱ,15,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.五年高考答案解析本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和.设公差为d,则∴∴an=n.∴前n项和Sn=1+2+…+n=,∴==2,∴=21-+-+…+-=2=2·=.解后反思裂项相消法求和的常见类型:①若{an}是等差数列,则=(d≠0);②=(-);③=-.思路分析求出首项a1和公差d,从而求出Sn.==2,从而运
2、用裂项相消法求和即可.2.(2015课标Ⅱ,16,5分,0.154)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.答案-解析∵an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴-=1,∴是等差数列,且公差为-1,而==-1,∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-.思路分析由an+1=Sn+1-Sn得Sn+1-Sn=SnSn+1,通过变形知数列是首项和公差均为-1的等差数列,进而得,从而得Sn.解题关键在已知等式中用Sn+1-Sn代替
3、an+1,得到中相邻两项的关系是解决本题的突破口.3.(2018课标Ⅱ,17,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解析(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.方法总结求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法(1)函数法:利用等差数列前n项和
4、的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)邻项变号法:①当a1>0,d<0时,满足的项数m,可使得Sn取得最大值,最大值为Sm;②当a1<0,d>0时,满足的项数m,可使得Sn取得最小值,最小值为Sm.4.(2016课标Ⅱ,17,12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{bn}的前1000项和.解析(1)设{an}的公差为
5、d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{an}的通项公式为an=n.b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.(6分)(2)因为bn=(9分)所以数列{bn}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.(12分)思路分析(1)先求公差,从而得通项an,再根据已知条件求b1,b11,b101.(2)分析出{bn}中项的规律,进而求出数列{bn}的前1000项和.5.(2015课标Ⅰ,17,12分,0.624)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,+2a
6、n=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.解析(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.可得-+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).由于an>0,所以an+1-an=2.又由+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(6分)(2)由an=2n+1可知bn===.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b
7、1+b2+…+bn==.(12分)思路分析(1)由+2an=4Sn+3,得+2an+1=4Sn+1+3,两式相减得出递推关系,再求出a1,利用等差数列的通项公式可得通项.(2)利用裂项相消法求Tn.考点二 数列的综合应用(2017课标Ⅰ,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20
8、,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440 B.330 C.220 D.110答案A本题考查等差数列、等比数列的前n项和公式,考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力和创新应用能力.解法一(排除法):记SN为数列的前N项和,由题意得,
