勾股定理的证明及运用

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1、17.1勾股定理gsp生活中的数学问题一个门框的尺寸如图所示，一块长8m，宽4.8m的薄木板能否从门框内通过？为什么？Ｄ　　　ＣＡ　　　Ｂ4m出谋划策3m３４PQR（图中每个小方格代表1平方厘米）图1-1（1）观察图1-1正方形P中含有个小方格，即P的面积是平方厘米。正方形Q的面积是平方厘米。正方形R的面积是平方厘米。99918ACB思考：如何求正方形Ｒ的面积？PQR（图中每个小方格代表1平方厘米）图1-1＝18（平方厘米）ACB“割”的方法：方形Ｒ的面积的求法１：PQR（图中每个小方格代表1平方厘米）图1-1=18（平方厘米）=62－ACB“补”的方法:方形Ｒ的面

2、积的求法2：PQR图1-2（1）观察图1-2完成表格P的面积（平方厘米）Q的面（平方厘米）R的面（平方厘米）图1-216925做一做2（2）三个正方形P，Q，R的面积之间有什么关系？SP+SQ=SRABC图中每个小方格代表1平方厘米acbSP+SQ=SR观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想两直角边a、b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2┏a2+b2=c2acb直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”

3、.勾股验证方法:caba∴a²+b²=c²图2弦图赵爽东汉末至三国时代吴国人为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方圆说》。┏a2+b2=c2acb直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股弦勾股定理(毕达哥拉斯定理)比一比看看谁算得快！2.求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:8x171620x125x做一做生活中的数学问题一个门框的尺寸如图所示，一块长8m，宽4.8m的薄木板能否从门框内通过？为什么？Ｄ　　　ＣＡ　　　Ｂ4m解决问题3m３４例题（1）一个３米长的木梯ＡＢ,架在高为2.５米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少米?（精确

4、到0.01米）ABＯ３2.５解：依题意，在Rt△ABO中，AB=3米，AO=2.5米，由勾股定理得:AO2+OB2=AB2∴OB2=AB2-AO2∴OB=OB≈1.66米答：梯脚与墙的距离是1.66米∴OB=例题（1）一个３米长的木梯ＡＢ,架在高为2.５米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少米?（精确到0.01米）ABＯ（2）当木梯顶端下滑0.5米，这时梯脚与墙的距离是否向右滑动0.5米？３2.５CD0.5？1.66解：由题意，AC=0.5米，CD=3米OC=AO-AC=2.5-0.5=2米在Rt△COD中,CO2+OD2=CD2OD2=CD2-CO2,OD=O

5、D=BD=OD-OB=≈O.58米＞0.5米答：梯脚向右滑了约0.58米例2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离。ABC409016040解:过A作铅垂线,过B作水平线,两线交于点C,则∠C=90。AC=90-40=50(mm),BC=160-40=120(mm).∵∠C=90。∴AB2=AC2+BC2∵AB>0∴AB=130(mm)答:两孔中心A,B之间的距离为130mm.温馨提示：在实际问题中，要会根据需要构造直角三角形，再通过勾股定理来解决问题=502+1202=16900(mm2)试一试如图:一块长约8m，宽约6m的长方形草

6、地，被不自觉的人沿对角线踏出了一条斜“路”，类似的现象也时有发生.请问：①走斜“路”的客观原因是什么？②斜“路”比正路近多少？走这么几步近路，值得吗？如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m由勾股定理得AB=(m)6+8-10=4(m)答：斜“路”比正路近4m.不值得.68BCA解：=证明一证明一证明一证明一证明一几何原本欧几里得（EuclidofAlexandria;約325B.C.約265B.C.）欧几里得的《几何原本》是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。“证明一”就是取材自《几何原本》第一卷的第47命题。证明二ba(a+b)2=c2+4(

7、½ab)a2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2c证明三½(a+b)(b+a)=½c2+2(½ab)½a2+ab+½b2=½c2+aba2+b2=c2aabbcc美国总统的证明加菲（JamesA.Garfield；18311881）1881年成为美国第20任总统1876年提出有关证明a2b2证明四证明四证明四证明四证明四c2a2+b2=c2出入相补刘徽（生于公元三世纪）三国魏晋时代人。魏景元四年（即263年）为古籍《九章算术》作注释。在注作中，提出以“出入相补”的原理来证明“勾股定理”。后人称该图为“青朱入出图”。证明五c2证明五证明五证明五a2