直线与方程复习题[1]

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1、直线方程.一．基础知识（1）直线的倾斜角一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.（2）直线方程的几种形式点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.附直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变

2、化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.（3）两条直线的位置关系10两条直线平行∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.20两条直线垂直两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.（即是垂直的

3、充要条件）（4）两条直线的交角两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.（5）点到直线的距离①点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.②两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离.（6）对称问题：①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.③点关于某一条直线对称，用中点表

4、示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2,x–2)=0.②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a–x,2b–y)=0.二．范例解析例1．已知直线l过点P(-1,1)且与A(-2,3)、B(3,2)为端点的线段相交，试求直线l倾斜角的取值范围。［思路］1）先求出；2）由图7-3知，满足题意的直线l的斜率为。因为直线l的倾斜角，而上分别是增函数，从而知，又知也

5、满足条件，故倾斜角取值范围为注：1）直线的斜率是判定两直线位置关系的重要依据；2）数形结合思想方法是求解解析几何问题的重要方法之一；3）已知斜率范围探求倾斜角的范围，最关键的一环是利用正切函数的单调性处理。例2．ABC的顶点，试求∠A平分线AT所在直线方程。［思路］利用角平线性质∠CAT=∠BAT结合到角公式求出直线AT的斜率即可。［法一］如图7-1，由已知易求。由角平线的性质∠CAT=∠BAT知AC到AT的角与AT到AB的角相等。即可求出，从而∠A平分线AT所在直线方程为：【法二】利用轨迹方程的思想求解例3．已知M(x,y)是以A(-2,3)、B(3,2)为端点的线

6、段上一动点，试求的取值范围。法一：1）若令，代入线段AB所在的直线方程消去y可得到可求出t的范围，但计算较繁。2）变换角度，由数入形，联想直线斜率公式可使问题轻松解决。法二：令，不难发现t就是线段AB一动点M与定点P（-1，1）连线的的斜率（如图3）1）易求出2）由图7-5知，满足题意的直线PM的斜率为，即的取值范围为。例4．已知实数满足方程试求：的最小值。1）变形联想两点距离公式；2）由数形结合，问题转化为直线一动点P（x,y）到定点（-1，0）距离的平方和。由变形为，联想两点距离公式，不难发它的几何意义：直线一动点P（x,y）到定点A（-1，0）距离的平方和。如图

7、7-10知当时，也就是说点A到直线l距离的平方即为所求。例5求过点且与直线平行的直线方程．解一：已知直线的斜率为，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是根据点斜式，得到所求直线的方程是，即．解二：设与直线平行的直线的方程为，∵经过点，∴，解得∴所求直线方程为．例6当为何值时，直线过直线与的交点?解法一：解得交点(4，9),将＝４,＝9代入得9＝４＋3，解得＝.解法二：过直线与的交点的直线系方程为＋＝0整理得：与直线比较系数，得＝3即＝1.∴＝例7练习：1、若方程表示两条直线，则的取值是．2、．已知点，，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。