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1、习题一1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数.①解：②解：③解：④解：2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)R);①解：∵设z=x+iy则∴,．②解：设z=x+iy∵∴,．③解：∵∴,．④解：∵∴,．⑤解：∵．∴当时，，；当时，，．3.求下列复数的模和共轭复数①解：．②解：③解：．④解：4、证明：当且仅当时，z才是实数．证明：若，设，则有 ，从而有，即y=0∴z=x为实数．若z=x，x∈¡，则．∴．命题成立．5、设z,w∈£，证明：证明：∵∴．6、设z,w∈£，证明下列不等式．并给出最后一个等式的几何解释．证
2、明：在上面第五题的证明已经证明了．下面证．∵．从而得证．∴几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式①解： 其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i的三次根．解：∴． ⑵-1的三次根解：∴⑶的平方根．解：∴∴．9.设.证明：证明：∵ ∴，即．∴又∵n≥2．∴z≠1从而11.设是圆周令,其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.解：如图所示．因为={z:=0}表示通过点a且方向与b同向的直
3、线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥．过C作直线平行，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、
4、z-1
5、=
6、z
7、．表示直线z=．(3)、1<
8、z+i
9、<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。（4）、Re(z)>Imz．解：表示直线y=x的右下半平面5、Imz>1，且
10、z
11、<2．解：表示圆盘内的一弓形域。所以当y→∞时有
12、cosz
13、
14、→∞．习题二1.求映射下圆周的像.解：设则因为,所以所以,所以即，表示椭圆.2.在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.（1）；（2）;(3)x=a,y=b.(a,b为实数)解：设所以(1)记，则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即(2)记，则映成了w平面上扇形域，即(3)记，则将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3.求下列极限.(1);解：令,则.于是.(2);解：设z=x+yi，则有显然当取不同的值时f(z)的极限不同
15、所以极限不存在.（3）；解：=.（4）.解：因为所以.4.讨论下列函数的连续性：(1)解：因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2)解：因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5.下列函数在何处求导？并求其导数.(1)(n为正整数)；解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导..(2).解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导.(3).解：f(z)除外处处可导，且.(4)
16、.解：因为.所以f(z)除z=0外处处可导，且.6.试判断下列函数的可导性与解析性.(1);解：在全平面上可微.所以要使得，,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2).解：在全平面上可微.只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3);解：在全平面上可微.所以只有当时，才满足C-R方程.从而f(z)在处可导，在全平面不解析.(4).解：设，则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7.证明区域D内满足下列条件之一
17、的解析函数必为常数.(1);证明：因为，所以,.所以u,v为常数，于是f(z)为常数.(2)解析.证明：设在D内解析,则而f(z)为解析函数，所以所以即从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.(3)Ref(z)=常数.证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,因为f(z)解析，C-R条件成立。故即u=C2从而f(z)为常数.(4)Imf(z)=常数.证明：与（3）类似，由v=C1得因为f(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)为常数.5.
18、f(z)
19、=常数.证明：因为
20、f(z)
21、=C，对C进行讨论.若C=
22、0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.若C0，则f(z)0,但，即u2+v2=C2则两边对x,y分别求偏导数，有利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有所以所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.(6)argf(z)=常数.证明：argf(z)=常数，即,于是得C-R条件→解得，即u,v为常数，于是f(z)为常数.8.设f(z)=m
