第6章 线性空间练习题

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1、第6章线性空间练习题一、填空题()1.已知三维向量空间的一组基是,则向量在这组基下的坐标是.2.从R2的基到基的过渡矩阵为.3.已知,则解空间的维数是,解空间一组基是.4.设中定义,则不作成线性空间的理由可以为.5.设是有理数域,,关于实数的加法和乘法作成线性空间,该空间的维数是.二、单项选择题()1.在下列集合中,对指定的运算不能构成实数域R上的一个线性空间的是().(A)所有m×n的实矩阵,对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(B)所有n阶实对称矩阵,对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(C)所有n阶实反对称矩阵,对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(D)所有n阶可逆矩阵,对矩阵的加法

2、及数与矩阵的乘法2.设V=R3,下列集合为V的子空间的是().(A)(B)(C)(D)(Q为有理数域)3.下列线性空间中,()与其它三个空间不同构.(A)(B)是复数域(C)(D)是复数域4.向量空间,则W的维数为().(A)1(B)2(C)n(D)n-15.在中,由基到基的过渡矩阵为C,则C=().(A)(B)(C)(D)三、计算题()1.在线性空间中,(1)求基向量组到基向量组的过渡矩阵C;(2)求在基下的坐标.2.设的有两个基向量组和,(1)求在这两组基下的坐标;(2)求向量,使它在这两组基下有相同的坐标.3.在中,求子空间的一组基和维数.4.在中,,两个子空

3、间分别求一组基和维数.四、证明题1.设线性空间中为向量,且,证明:向量组线性无关的充分必要条件是线性无关.2.设是线性空间的两个子空间,证明:是的子空间的充分必要条件是.3.设是线性空间的两个子空间,证明:是直和的充分必要条件是中至少有一个向量可以唯一地表示为,其中.4.叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式.5.设,证明:(1)是的子空间;(2)与同构.参考答案一、填空题()1.(-1,0,2);2.;3.2,(不唯一);4.;5.2.二、选择题()1.D;2.A;3.D4.D;5.B三、计算题()1.(1),(2)(2,5,-1)T2.(1);(2)

4、Y=(0,-4,5)T,X=(1,2,4)T;(3)。3.基4.的一组基为,的一组基,维数是4;的一组基维数是1.四、证明题1.利用向量组的线性表示。2.充分性:显然,必要性:考虑反证法3.必要性:显然,充分性:考虑反证法4.(略)5.对照子空间条件,考虑维数

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