线性空间练习题.doc

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1、第9章欧氏空间练习题一、填空题1.设是3阶方阵,若分别为的属于特征值和4的特征向量,则    .2.已知二次型经过正交变换化为,则.3.设是实数域,二维平面上双线性函数,则在基向量组下的度量矩阵=.4.设是欧氏空间,基向量组的度量矩阵,若中向量,则的内积=.二、选择题1.设二次型,若表示椭圆柱面,则( ).(A) (B) (C) (D)2..3.阶实对称矩阵和相似的充分必要条件是().(A)与都有个线性无关的特征向量;(B);(C)和的主对角线上的元素的和相等;(D)与的个特征值都相等4.下列矩阵中不一

2、定可逆的是( ).()正交矩阵  ()正定矩阵  ()伴随矩阵  ()初等矩阵.5.设是4阶实对称矩阵,0是3重特征值,则齐次线性方程组的基础解系含()个解向量.(A)0 (B)1  (C)2 (D)33三、解答题1.设齐次线性方程组的解空间是,在欧氏空间(标准内积)中,给出的一组基,的正交补空间的一组标准正交基.2.已知为三阶实对称矩阵,,,是对应于特征值的特征向量,试求:(1)的另一个特征值及其特征向量;(2)矩阵.3.设,试给出矩阵的标准形矩阵和有理标准形矩阵.4.已知实二次型=经过正交变换,化为

3、标准形,求实参数及正交矩阵5.设3解矩阵A的各行元素之和均为0,线性无关的3维列向量满足。(1)证明:矩阵A与对角形矩阵相似;(2)如果,求矩阵A;(3)求正交变换化二次型为标准型。6.设是3维欧氏空间的向量组,为的向量组,满足:,,(1)若线性无关,证明是欧氏空间的一组基;(2)若是欧氏空间的一组标准正交基,证明也是欧氏空间的一组标准正交基.3参考答案一、填空题1.42.23.4.二、选择题1.C2.B3.4.C 5.D三、解答题1.(1)(答案不唯一)(2)(答案不唯一)2.(1);(2)3.   

4、4.由,对应的线性无关的特征向量,,,正交变换X=QY中的正交矩阵=5.(1)证明:矩阵A有特征值;(2)矩阵;(3)特征向量。(双曲柱面)6.()=(),(1)可逆;(2)正交.3

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