线性空间练习题.doc

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1、第9章欧氏空间练习题一、填空题1．设是3阶方阵，若分别为的属于特征值和4的特征向量，则　　　　．2.已知二次型经过正交变换化为，则．3.设是实数域，二维平面上双线性函数，则在基向量组下的度量矩阵=．4．设是欧氏空间，基向量组的度量矩阵，若中向量，则的内积=．二、选择题1.设二次型，若表示椭圆柱面，则（　）．(A)　(B)　(C)　(D)2.．3.阶实对称矩阵和相似的充分必要条件是（）．(A)与都有个线性无关的特征向量；(B)；(C)和的主对角线上的元素的和相等；(D)与的个特征值都相等4.下列矩阵中不一

2、定可逆的是（　）．（）正交矩阵　　（）正定矩阵　　（）伴随矩阵　　（）初等矩阵．5．设是4阶实对称矩阵，0是3重特征值，则齐次线性方程组的基础解系含（）个解向量．(A)0　(B)1　　(C)2　(D)33三、解答题1．设齐次线性方程组的解空间是，在欧氏空间（标准内积）中，给出的一组基，的正交补空间的一组标准正交基．2.已知为三阶实对称矩阵，,,是对应于特征值的特征向量，试求：（1）的另一个特征值及其特征向量；（2）矩阵．3．设，试给出矩阵的标准形矩阵和有理标准形矩阵．4.已知实二次型=经过正交变换,化为

3、标准形,求实参数及正交矩阵5.设3解矩阵A的各行元素之和均为0，线性无关的3维列向量满足。（1）证明：矩阵A与对角形矩阵相似；（2）如果，求矩阵A；（3）求正交变换化二次型为标准型。6．设是３维欧氏空间的向量组,为的向量组，满足：，，（1）若线性无关，证明是欧氏空间的一组基；（2）若是欧氏空间的一组标准正交基，证明也是欧氏空间的一组标准正交基．3参考答案一、填空题1．42.23.4．二、选择题1.C2.B3.4.C　5．D三、解答题1．（１）（答案不唯一）（２）（答案不唯一）2.（1）；（2）3．　　　

4、4.由，对应的线性无关的特征向量，，，正交变换X=QY中的正交矩阵=5.（1）证明：矩阵A有特征值；（2）矩阵；（3）特征向量。（双曲柱面）6．（）＝（），（１）可逆；（２）正交．3