一元微积分A前三章练习题4答案

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1、13-14-4一．填空题(每小题3分，共18分)1．极限=.2．设函数，则.3．设导数存在，则=.4．已知函数在处可导，则1，1.5．曲线上与直线平行的切线方程是.6．抛物线在其顶点处的曲率=2二、单项选择题(每小题3分，共18分)1.设，，则当时，下列表达式正确的是（D）.（A）；（B）；（C）；（D）与同阶但不等价．2．函数的复合关系是（B）．（A）；（B）；（C）；（D）.3．点是的（D）.（A）连续点；（B）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）无穷间断点．4．设函数在区间内二阶可导，且，则点（C

2、）(A)不是的极值点(B)是的极小值点(C)是的极大值点(D)不是的驻点。55.(A)．(B)．(C)．(D)．．6．设，在处连续，则（A）(A).0(B).(C).1(D).三、计算题（第1、2每小题5分，第3--7每小题6分，共40分）1．求极限.解：原式=………………（2分）………………（5分）2.已知函数设求.解：………………（5分）3．设确定是的函数，求.解：方程两边关于x求导……………………（3分）解出………………（5分）所以………………（6分）4.设，求的20阶导数．5解：…………（2分）

3、…………（4分）………………（6分）5.设确定了函数,求，.解：………………（3分）…………（6分）6.确定函数的单调区间，极值点.解：定义域………………（1分）……………………（3分）01-0+不存在-极小值0单调增区间：，单调减区间：，，极小值点（0，0）.……（6分）7.求极限.解：因为………………（2分）5又，………………（4分）由夹逼准则，原极限=0……………………（6分）四、应用题（第1小题10分,第2小题6分，共16分）1．由直线，及曲线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使得曲线在点处的

4、切线与直线及所围三角形的面积最大.解：设所求点P的为，则斜率………………（2分）切线方程为：………………（3分）令，得，令，得………………（5分）三角形面积………………（6分）对三角形面积关于求导并令其等于0，得，或（舍去）……………………（9分）由于在（0，6）区间上只有一个驻点，故点P处的切线与直线及所围三角形的面积最大。……………………（10分）2．水管壁的正截面是一个圆环，设它的内半径是，壁厚为，利用微分来计算这个圆环面积的近似值.解：圆面积公式为,…………………………（3分）5则…………………

5、…（6分）五、证明题（8分）1.设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，．试证：至少存在一点，使得证明：令………………（1分）则在[0,2]上连续，在开区间内可导，…………（2分）又…………（3分）由零点存在定理，存在一个，使得…………（5分）又，………………………………（6分）再由罗尔中值定理，至少存在一点，使得，即.…………………………（8分）5