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时间:2019-09-12
《一元微积分A前三章练习题4答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、13-14-4一.填空题(每小题3分,共18分)1.极限=.2.设函数,则.3.设导数存在,则=.4.已知函数在处可导,则1,1.5.曲线上与直线平行的切线方程是.6.抛物线在其顶点处的曲率=2二、单项选择题(每小题3分,共18分)1.设,,则当时,下列表达式正确的是(D).(A);(B);(C);(D)与同阶但不等价.2.函数的复合关系是(B).(A);(B);(C);(D).3.点是的(D).(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.4.设函数在区间内二阶可导,且,则点(C
2、)(A)不是的极值点(B)是的极小值点(C)是的极大值点(D)不是的驻点。55.(A).(B).(C).(D)..6.设,在处连续,则(A)(A).0(B).(C).1(D).三、计算题(第1、2每小题5分,第3--7每小题6分,共40分)1.求极限.解:原式=………………(2分)………………(5分)2.已知函数设求.解:………………(5分)3.设确定是的函数,求.解:方程两边关于x求导……………………(3分)解出………………(5分)所以………………(6分)4.设,求的20阶导数.5解:…………(2分)
3、…………(4分)………………(6分)5.设确定了函数,求,.解:………………(3分)…………(6分)6.确定函数的单调区间,极值点.解:定义域………………(1分)……………………(3分)01-0+不存在-极小值0单调增区间:,单调减区间:,,极小值点(0,0).……(6分)7.求极限.解:因为………………(2分)5又,………………(4分)由夹逼准则,原极限=0……………………(6分)四、应用题(第1小题10分,第2小题6分,共16分)1.由直线,及曲线围成一个曲边三角形,在曲边上求一点,使得曲线在点处的
4、切线与直线及所围三角形的面积最大.解:设所求点P的为,则斜率………………(2分)切线方程为:………………(3分)令,得,令,得………………(5分)三角形面积………………(6分)对三角形面积关于求导并令其等于0,得,或(舍去)……………………(9分)由于在(0,6)区间上只有一个驻点,故点P处的切线与直线及所围三角形的面积最大。……………………(10分)2.水管壁的正截面是一个圆环,设它的内半径是,壁厚为,利用微分来计算这个圆环面积的近似值.解:圆面积公式为,…………………………(3分)5则…………………
5、…(6分)五、证明题(8分)1.设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,.试证:至少存在一点,使得证明:令………………(1分)则在[0,2]上连续,在开区间内可导,…………(2分)又…………(3分)由零点存在定理,存在一个,使得…………(5分)又,………………………………(6分)再由罗尔中值定理,至少存在一点,使得,即.…………………………(8分)5
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